Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim x +infty[ln (2+x)-ln (1+x)]]

Passo 1

Beleza, o exercício pede que a gente calcule
limxto +inftyl[ln(2+x)-ln(1+x)r]
Matéria: limites no infinito e propriedades de logaritmos.
O que vamos usar:
  1. Propriedade de log: ln A - ln B = lnl(tfracABr).
  2. Noção de limite de função racional quando xtoinfty.
  3. Continuidade do ln, que permite “entrar” o limite lá dentro.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a propriedade de diferença de logaritmos:
ln(2+x) - ln(1+x) = ln!l(tfracx+2x+1r)
Isso troca a diferença de dois ln por um único ln de quociente.

Passo 3

Agora vamos estudar o limite de dentro do ln, ou seja
f(x) = x+2x+1 quando xtoinfty
Como tanto numerador quanto denominador são polinômios de grau 1, a técnica mais direta é dividir tudo por x:
x+2x+1 = xl(1+tfrac2xr)xl(1+tfrac1xr) = 1+tfrac2x1+tfrac1x
Quando xtoinfty, a gente sabe que tfrac2xto0 e tfrac1xto0.
Logo
limxtoinftyf(x) = 1+01+0 =1

Passo 4

O último passo é usar que ln é contínuo em torno de 1. Isso significa
limxtoinftyln!l(f(x)r) = ln!l(limxtoinftyf(x)r) = ln(1)
E como ln(1)=0, concluímos que o limite original é 0.

Resposta

0

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