Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver
por série de potência centrada em
. Vamos assumir a solução
e calcular
e
para substituir na equação.
Passo 2
Calculemos as derivadas term a termo:
Para alinhar todas as séries em potências de
, fazemos as mudanças de índice
Também
pois o termo
é zero.
Passo 3
Substituindo em
e reunindo coeficientes de
, obtemos
Para que isso seja identicamente zero, cada coeficiente deve anular-se, logo
Passo 4
A relação de recorrência é
Isto significa que todos os coeficientes pares dependem de
e todos os ímpares dependem de
. Escrevendo alguns termos:
Passo 5
Reconhecendo o padrão geral, para
temos
Resposta
Portanto a solução em série de potência é