Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver
y''+x,y'+y=0
por série de potência centrada em x0=0. Vamos assumir a solução
y=sumn=0^inftyanx^n
e calcular y' e y'' para substituir na equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas term a termo:
y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Para alinhar todas as séries em potências de x^n, fazemos as mudanças de índice
y'=sumn=0^infty(n+1),an+1x^n, y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2x^n
Também
x,y'=sumn=0^infty(n+1),an+1x^n+1 =sumn=1^inftyn,anx^n =sumn=0^inftyn,anx^n,
pois o termo n=0 é zero.

Passo 3

Substituindo em y''+x,y'+y=0 e reunindo coeficientes de x^n, obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2+n,an+anr]x^n=0
Para que isso seja identicamente zero, cada coeficiente deve anular-se, logo
(n+2)(n+1),an+2+(n+1),an=0 Longrightarrow an+2=-n+1(n+2)(n+1),an =-ann+2

Passo 4

A relação de recorrência é
boxedan+2=-ann+2, n>=0
Isto significa que todos os coeficientes pares dependem de a0 e todos os ímpares dependem de a1. Escrevendo alguns termos:
a2=-a02,; a4=-a24=a02cdot4,; a6=-a46=-a02cdot4cdot6,;dots
a3=-a13,; a5=-a35=a13cdot5,;dots

Passo 5

Reconhecendo o padrão geral, para m>=0 temos
a2m=(-1)^m,a02cdot4cdot6cdots(2m) =(-1)^m,a02^mm!,
a2m+1=(-1)^m,a13cdot5cdot7cdots(2m+1) =(-1)^m,2^mm!(2m+1)!,a1

Resposta

Portanto a solução em série de potência é
y(x)=a0summ=0^infty(-1)^m,x^2m2^mm! ;+; a1summ=0^infty(-1)^m,2^mm!(2m+1)!,x^2m+1

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