Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x-1) y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x-1),y'' + y' = 0
por série de potência centrada em x0=0. A ideia é supor
y = sumn=0^infty an,x^n,
calcular y' e y'', substituir na equação, encontrar a relação de recorrência para os an e depois escrever a solução em série (e, se possível, reconhecer uma soma conhecida).

Passo 2

Calculamos as derivadas de
y = sumn=0^infty anx^n:
y' = sumn=1^infty n,an,x^n-1, y'' = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituindo em (x-1)y'' + y' = 0 escrevemos
(x-1)y'' + y' = x,y'' - y'' + y' = 0
Cada termo vira
x,y'' = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-1, -,y'' = -sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2, y' = sumn=1^infty n,an,x^n-1

Passo 4

Para igualar as potências de x, reindexamos cada soma com m=n-2 ou m=n-1, obtendo
x,y'' = summ=1^infty (m+1)m,am+1,x^m, -,y'' = -summ=0^infty (m+2)(m+1),am+2,x^m, y' = summ=0^infty (m+1),am+1,x^m
Somando tudo e igualando o coeficiente de x^m a zero dá
(m+1)m,am+1;-;(m+2)(m+1),am+2;+;(m+1),am+1=0
Fatorando (m+1) resulta
(m+1),l[(m+1)am+1 - (m+2)am+2r]=0 ;Longrightarrow; am+2 = m+1m+2;am+1

Passo 5

A relação acima vale para todo m>=0. Como não há nenhuma equação envolvendo a0, temos duas constantes livres ( a0 e a1), que são as duas constantes de integração. Para organizar melhor, reindexamos por n=m+2:
an = n-1n;an-1, n>=2
Dessa forma, para n>=1 se prova por iteração que
an = a1n

Passo 6

Substituindo na série inicial, a solução fica
y = a0 + sumn=1^inftyanx^n = a0 + a1sumn=1^inftyx^nn
Mas lembramos que
sumn=1^inftyx^nn = -lnl(1 - xr),
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y = a0 - a1,lnl(1 - xr)

Resposta

y(x) = C1 + C2,lnl(1 - xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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