Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
por série de potência centrada em
. A ideia é supor
calcular
e
, substituir na equação, encontrar a relação de recorrência para os
e depois escrever a solução em série (e, se possível, reconhecer uma soma conhecida).
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Passo 3
Substituindo em
escrevemos
Cada termo vira
Passo 4
Para igualar as potências de
, reindexamos cada soma com
ou
, obtendo
Somando tudo e igualando o coeficiente de
a zero dá
Fatorando
resulta
Passo 5
A relação acima vale para todo
. Como não há nenhuma equação envolvendo
, temos duas constantes livres (
e
), que são as duas constantes de integração. Para organizar melhor, reindexamos por
:
Dessa forma, para
se prova por iteração que
Passo 6
Substituindo na série inicial, a solução fica
Mas lembramos que
logo
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.