Seja
uma solução da EDO não-linear
onde
é uma função contínua que não depende de
ou da variável independente
. Considere
como uma primitiva de
, istpo é,
. Mostre que a quantidade
é constante, ou seja,
. Use isto para resolver:
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária não-linear e independente de
:
Diz que
é uma primitiva de
, ou seja,
Define-se a quantidade
e pede para mostrar que
é constante (ou seja,
).\n
Depois, usando esse fato, resolver a EDO específica
Depois, usando esse fato, resolver a EDO específica
Dados relevantes listados:
- Função
. -
é tal que . - Queremos provar que
para
e então usar isso para reduzir/solucionar a EDO dada.
Passo 2
Mostrando que
é constante: vamos derivar
em relação a
e usar regras básicas de derivação (regra do produto e regra da cadeia).\n
Começo escrevendo e derivando termo a termo:
Começo escrevendo
Derivando,
Aqui usei:
- derivada de
é (pela regra da cadeia / produto), - derivada de
é (regra da cadeia).\n
Agora substituoe a EDO :
Mas pela EDO
. Logo
Portanto
é constante ao longo das soluções. Intuição: isso é uma “energia” conservada — a soma da “energia cinética”
e do potencial
não muda com
.
Passo 3
Agora aplico isso ao caso específico
. Primeiro encontro
como primitiva de
. Integro em relação a
:
A primitiva de
é
. Portanto
Passo 4
Escrevo a constante de energia
para esta EDO. Como
é constante, chamo-a de
(constante arbitrária):
Reescrevendo para isolar
:
Isto já é uma redução de ordem (da segunda ordem para uma equação de primeira ordem). Agora podemos separar variáveis e integrar.
Passo 5
Separe variáveis:
Tomando a versão com o sinal
(o caso com
é análogo, corresponde a inverter
ou trocar a constante de integração),
Integro ambos os lados:
onde
é constante de integração. Essa integral fornece a solução implícita geral. Não é uma primitiva elemental trivial (envolve uma integral do tipo
após a substituição
), então a solução geral pode ficar em forma implícita por quadratura:
Isto já é uma solução válida: qualquer função
que satisfaça essa igualdade (para constantes
) satisfará a EDO original.
Passo 6
Procuro soluções particulares simples e explícitas — uma técnica útil na prova/exame é tentar uma solução polinomial do tipo
. Faço esta tentativa:\n
Assumo com
. Então
Assumo
A EDO exige
Comparando expoentes em
obtemos
Resolvendo:
Com
, a comparação de coeficientes dá
Se
, escrevo
. Então
, que dá
(caso trivial) ou
Logo
Portanto obtemos duas famílias de soluções explícitas (mais a solução trivial
):
ou, escrevendo de forma direta,
onde
é constante de translação. Essas funções satisfazem a EDO para todos
(verificação direta: colocar
e
como acima confere os coeficientes).
Passo 7
Resumo das soluções encontradas:
- A identidade geral de primeira integral (energia constante) é
- A solução geral está dada implicitamente por quadratura:
- Soluções explícitas particulares (além de
) são as cúbicas encontradas: