Seja y(x) uma solução da EDO não-linear
y^{\prime \prime}=f(y)
onde f(y) é uma função contínua que não depende de y^{\prime} ou da variável independente x. Considere F(y) como uma primitiva de f(y), istpo é, F^{\prime}(y)=f(y). Mostre que a quantidade
E(x)=\frac{1}{2}\left[y^{\prime}(x)\right]^{2}-F(y(x))
é constante, ou seja, E^{\prime}(x)=0. Use isto para resolver:
y^{\prime \prime}=25 y^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária não-linear e independente de x:
y'' = f(y).
Diz que F(y) é uma primitiva de f(y), ou seja,
F'(y)=f(y).
Define-se a quantidade
E(x)=\tfrac{1}{2}\bigl[y'(x)\bigr]^2 - F\bigl(y(x)\bigr)
e pede para mostrar que E(x) é constante (ou seja, E'(x)=0).\n
Depois, usando esse fato, resolver a EDO específica
y''=25\,y^{1/3}.
Dados relevantes listados:
  • Função f(y)=25\,y^{1/3}.
  • F(y) é tal que F'(y)=f(y).
  • Queremos provar que E'(x)=0 para
E(x)=\tfrac{1}{2}[y'(x)]^2 - F(y(x))
e então usar isso para reduzir/solucionar a EDO dada.

Passo 2

Mostrando que E(x) é constante: vamos derivar E(x) em relação a x e usar regras básicas de derivação (regra do produto e regra da cadeia).\n
Começo escrevendo E(x) e derivando termo a termo:
E(x)=\tfrac{1}{2}\bigl[y'(x)\bigr]^2 - F\bigl(y(x)\bigr).
Derivando,
E'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\,y'(x)\,y''(x) - F'(y(x))\,y'(x).
Aqui usei:
  • derivada de \tfrac{1}{2}[y']^2 é y' y'' (pela regra da cadeia / produto),
  • derivada de F(y(x)) é F'(y(x))\cdot y'(x) (regra da cadeia).\n
    Agora substituo F'(y)=f(y) e a EDO y''=f(y):
E'(x)=y'(x)\,y''(x) - f\bigl(y(x)\bigr)\,y'(x) = y'(x)\bigl(y''(x)-f(y(x))\bigr).
Mas pela EDO y''(x)-f(y(x))=0. Logo
E'(x)=y'(x)\cdot 0 = 0.
Portanto E(x) é constante ao longo das soluções. Intuição: isso é uma “energia” conservada — a soma da “energia cinética” \tfrac{1}{2}[y']^2 e do potencial -F(y) não muda com x.

Passo 3

Agora aplico isso ao caso específico y''=25\,y^{1/3}. Primeiro encontro F(y) como primitiva de f(y)=25\,y^{1/3}. Integro em relação a y:
F(y)=\int 25\,y^{1/3}\,dy = 25\cdot\int y^{1/3}\,dy.
A primitiva de y^{1/3} é \tfrac{3}{4}y^{4/3}. Portanto
F(y)=25\cdot \tfrac{3}{4} y^{4/3} = \tfrac{75}{4}\,y^{4/3}.

Passo 4

Escrevo a constante de energia E para esta EDO. Como E(x) é constante, chamo-a de C (constante arbitrária):
\tfrac{1}{2}\bigl[y'(x)\bigr]^2 - \tfrac{75}{4}\,y(x)^{4/3} = C.
Reescrevendo para isolar [y']^2:
\bigl[y'(x)\bigr]^2 = 2C + \tfrac{75}{2}\,y^{4/3}.
Isto já é uma redução de ordem (da segunda ordem para uma equação de primeira ordem). Agora podemos separar variáveis e integrar.

Passo 5

Separe variáveis:
y' = \frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{2C + \tfrac{75}{2}\,y^{4/3}}.
Tomando a versão com o sinal + (o caso com - é análogo, corresponde a inverter x\mapsto -x ou trocar a constante de integração),
\frac{dy}{\sqrt{2C + \tfrac{75}{2}\,y^{4/3}}} = dx.
Integro ambos os lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{2C + \tfrac{75}{2}\,y^{4/3}}} = x + x_0,
onde x_0 é constante de integração. Essa integral fornece a solução implícita geral. Não é uma primitiva elemental trivial (envolve uma integral do tipo \int y^{1/2}/\sqrt{a + b y^2}\,dy após a substituição y^{2/3}=t), então a solução geral pode ficar em forma implícita por quadratura:
\boxed{\int^{y(x)} \frac{ds}{\sqrt{2C + \tfrac{75}{2}\,s^{4/3}}} = x + x_0.}
Isto já é uma solução válida: qualquer função y(x) que satisfaça essa igualdade (para constantes C,x_0) satisfará a EDO original.

Passo 6

Procuro soluções particulares simples e explícitas — uma técnica útil na prova/exame é tentar uma solução polinomial do tipo y(x)=a(x-b)^m. Faço esta tentativa:\n
Assumo y(x)=a(x-b)^m com a\neq 0. Então
y' = a m (x-b)^{m-1},\qquad y'' = a m(m-1)(x-b)^{m-2}.
A EDO exige
a m(m-1)(x-b)^{m-2} = 25\bigl(a(x-b)^m\bigr)^{1/3} = 25 a^{1/3}(x-b)^{m/3}.
Comparando expoentes em (x-b) obtemos
m-2 = \frac{m}{3}.
Resolvendo:
3m - 6 = m \quad\Rightarrow\quad 2m = 6 \quad\Rightarrow\quad m=3.
Com m=3, a comparação de coeficientes dá
a\cdot 3\cdot 2 = 25\,a^{1/3} \quad\Rightarrow\quad 6a = 25 a^{1/3}.
Se a\neq 0, escrevo s=a^{1/3}. Então 6 s^3 = 25 s, que dá s=0 (caso trivial) ou
6 s^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad s = \pm \sqrt{\tfrac{25}{6}} = \pm \tfrac{5}{\sqrt{6}}.
Logo
a = s^3 = \pm\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{6}}\Bigr)^3 = \pm \frac{125}{6\sqrt{6}}.
Portanto obtemos duas famílias de soluções explícitas (mais a solução trivial y\equiv 0):
y(x) = \Bigl(\pm \tfrac{5}{\sqrt{6}}\,(x-x_0)\Bigr)^3,
ou, escrevendo de forma direta,
y(x)=\pm \frac{125}{6\sqrt{6}}\,(x-x_0)^3,
onde x_0 é constante de translação. Essas funções satisfazem a EDO para todos x (verificação direta: colocar m=3 e a como acima confere os coeficientes).

Passo 7

Resumo das soluções encontradas:
  • A identidade geral de primeira integral (energia constante) é
\tfrac{1}{2}[y']^2 - \tfrac{75}{4}y^{4/3} = C.
  • A solução geral está dada implicitamente por quadratura:
\int^{y(x)} \frac{ds}{\sqrt{2C + \tfrac{75}{2}\,s^{4/3}}} = x + x_0.
  • Soluções explícitas particulares (além de y\equiv 0) são as cúbicas encontradas:
y(x)=\pm \frac{125}{6\sqrt{6}}(x-x_0)^3.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}[y'(x)]^2 - \tfrac{75}{4}y(x)^{4/3}=C (constante) \n
\displaystyle \int^{y(x)}\frac{ds}{\sqrt{2C+\tfrac{75}{2}\,s^{4/3}}}=x+x_0 (solução implícita geral) \n
\displaystyle y(x)=0 e \displaystyle y(x)=\pm\frac{125}{6\sqrt{6}}\,(x-x_0)^3 (soluções particulares explícitas)

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