Questão 35. Ache a solução geral da EDO
sabendo que a EDO homogênea associada possui uma solução da forma
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
sabe-se que a equação homogênea associada possui uma solução da forma
.
O que se pede: achar a solução geral da EDO (ou seja, encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular da EDO não-homogênea e somá-las).
Passo 2
Encontrar o valor de [m) substituindo
na equação homogênea.
Substituindo em
com
obtemos (dividindo por
, que nunca é zero):
Agrupando termos em
e termos constantes:
Como essa igualdade deve valer para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser zero:
Da segunda equação obtemos
). Portanto a solução dada é
Passo 3
Colocar a EDO na forma padrão
dividindo por
(já que
):
Então
Passo 4
Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem (explicando a ideia):
Se
é uma solução conhecida da homogênea, procuramos
. Calculando e substituindo na homogênea e usando que
satisfaz a homogênea, obtém‑se uma equação de segunda ordem que reduz para uma equação de primeira ordem em
:
Essa equação tem solução
Como queremos apenas uma segunda solução independente, podemos escolher
e então
(Isto é a forma prática da redução de ordem; dá para derivar passo a passo como acima.)
Passo 5
Aplicar a fórmula com
e
.
Calcular
Logo
Logo
Além disso
. Portanto
Integramos:
Logo uma segunda solução independente é
Podemos, sem perda, reescrever a solução geral da homogênea absorvendo constantes multiplicativas:
Passo 6
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Usamos variação de parâmetros na forma padrão
com
.
As fórmulas de variação de parâmetros para duas soluções
são
onde
é o Wronskiano, e então
Vou calcular
,
,
, integrar e montar
.
Passo 7
Calcular o Wronskiano com
e
.
Primeiro
Então
Passo 8
Calcular
e
:
Integrando:
Para
precisamos de
. Fazendo por partes:
Substituindo,
Logo
Passo 9
Montar
:
Somando:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto
Passo 10
Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Podemos escrever a constante associada à segunda solução homogênea de forma simples (absorvendo o
se quisermos). Assim a solução geral é
com
constantes arbitrárias.