Questão 35. Ache a solução geral da EDO
x y^{\prime \prime}-2(x+1) y^{\prime}+(x+2) y=x^{3} e^{2 x}, x>0,
sabendo que a EDO homogênea associada possui uma solução da forma y=e^{m x}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
x y''-2(x+1) y'+(x+2) y=x^{3} e^{2 x},\quad x>0,
sabe-se que a equação homogênea associada possui uma solução da forma y=e^{m x}.
O que se pede: achar a solução geral da EDO (ou seja, encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular da EDO não-homogênea e somá-las).

Passo 2

Encontrar o valor de [m) substituindo y=e^{m x} na equação homogênea.
Substituindo em
x y''-2(x+1) y'+(x+2) y=0
com y=e^{m x} obtemos (dividindo por e^{m x}, que nunca é zero):
x m^{2}-2(x+1) m+(x+2)=0.
Agrupando termos em x e termos constantes:
x(m^{2}-2m+1)+(-2m+2)=0.
Como essa igualdade deve valer para todo x>0, os coeficientes de x e o termo constante devem ser zero:
\begin{cases} m^{2}-2m+1=0,\\[4pt] -2m+2=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos m=1\]. Isso também satisfaz a primeira (pois \(1^{2}-2\cdot1+1=0). Portanto a solução dada é
y_{1}=e^{x}.]

Passo 3

Colocar a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x) dividindo por x (já que x>0):
y''-2\Big(1+\frac{1}{x}\Big)y'+\Big(1+\frac{2}{x}\Big)y = x^{2} e^{2x}.
Então
P(x)=-2-\frac{2}{x},\qquad Q(x)=1+\frac{2}{x},\qquad R(x)=x^{2}e^{2x}.

Passo 4

Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem (explicando a ideia):
Se y_{1} é uma solução conhecida da homogênea, procuramos y=v(x)y_{1}(x). Calculando e substituindo na homogênea e usando que y_{1} satisfaz a homogênea, obtém‑se uma equação de segunda ordem que reduz para uma equação de primeira ordem em u=v':
u'+u\Big(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\Big)=0.
Essa equação tem solução
u=C\exp\Big(-\int\Big(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\Big)dx\Big).
Como queremos apenas uma segunda solução independente, podemos escolher C=1 e então
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
(Isto é a forma prática da redução de ordem; dá para derivar passo a passo como acima.)

Passo 5

Aplicar a fórmula com y_{1}=e^{x} e P(x)=-2-\dfrac{2}{x}.
Calcular \displaystyle\int P(x)\,dx=\int\Big(-2-\frac{2}{x}\Big)dx=-2x-2\ln x.
Logo
e^{-\int P\,dx}=e^{2x+2\ln x}=e^{2x}x^{2}.
Além disso y_{1}^{2}=e^{2x}. Portanto
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{e^{2x}x^{2}}{e^{2x}}=x^{2}.
Integramos:
\int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}.
Logo uma segunda solução independente é
y_{2}=y_{1}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{3}x^{3}e^{x}.
Podemos, sem perda, reescrever a solução geral da homogênea absorvendo constantes multiplicativas:
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}.

Passo 6

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Usamos variação de parâmetros na forma padrão y''+P y'+Q y=R com R(x)=x^{2}e^{2x}.
As fórmulas de variação de parâmetros para duas soluções y_{1},y_{2} são
u_{1}'=-\frac{y_{2}R}{W},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}R}{W},
onde W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} é o Wronskiano, e então
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Vou calcular W, u_{1}', u_{2}', integrar e montar y_{p}.

Passo 7

Calcular o Wronskiano com y_{1}=e^{x} e y_{2}=\dfrac{1}{3}x^{3}e^{x}.
Primeiro y_{2}'=\dfrac{1}{3}(3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x})=x^{2}e^{x}+\dfrac{1}{3}x^{3}e^{x}.
Então
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{x}\Big(x^{2}e^{x}+\frac{1}{3}x^{3}e^{x}\Big)-e^{x}\cdot\frac{1}{3}x^{3}e^{x}=x^{2}e^{2x}.

Passo 8

Calcular u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'=-\frac{y_{2}R}{W}=-\frac{\frac{1}{3}x^{3}e^{x}\cdot x^{2}e^{2x}}{x^{2}e^{2x}}=-\frac{1}{3}x^{3}e^{x},
u_{2}'=\frac{y_{1}R}{W}=\frac{e^{x}\cdot x^{2}e^{2x}}{x^{2}e^{2x}}=e^{x}.
Integrando:
u_{2}=\int e^{x}dx=e^{x}.
Para u_{1} precisamos de \int x^{3}e^{x}dx. Fazendo por partes:
\int x^{3}e^{x}dx = x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}dx,
\int x^{2}e^{x}dx = x^{2}e^{x}-2\int x e^{x}dx = x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})=e^{x}(x^{2}-2x+2).
Substituindo,
\int x^{3}e^{x}dx = e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6).
Logo
u_{1}=-\frac{1}{3}\int x^{3}e^{x}dx=-\frac{1}{3}e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6).

Passo 9

Montar y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
u_{1}y_{1}=-\frac{1}{3}e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)\cdot e^{x}=-\frac{1}{3}e^{2x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6),
u_{2}y_{2}=e^{x}\cdot\frac{1}{3}x^{3}e^{x}=\frac{1}{3}x^{3}e^{2x}.
Somando:
y_{p}=e^{2x}\Big[-\frac{1}{3}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+\frac{1}{3}x^{3}\Big].
Simplificando dentro dos colchetes:
-\frac{1}{3}x^{3}+\;x^{2}-2x+2+\frac{1}{3}x^{3}=x^{2}-2x+2.
Portanto
y_{p}=e^{2x}(x^{2}-2x+2).

Passo 10

Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Podemos escrever a constante associada à segunda solução homogênea de forma simples (absorvendo o 1/3 se quisermos). Assim a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+e^{2x}(x^{2}-2x+2),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+e^{2x}(x^{2}-2x+2)

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