Questão 34: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3 times 3 abaixo descritos:
matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de M3times3 formado pelas matrizes A=(aij) tais que a segunda linha de A coincide com a terceira coluna de A. O conteúdo é subespaço vetorial, e vamos usar a ideia de equacionar as entradas, identificar as restrições lineares, parametrizar as matrizes e extrair uma base.

Passo 2

Seja A=(aij). A condição “segunda linha = terceira coluna” significa, para j=1,2,3,
a2j ;=; aj3,
Em particular:
a21=a13, a22=a23, a23=a33

Passo 3

Das três equações acima, vemos que a21,a22,a23 ficam expressos em função de a13 e a33. Logo, das 9 entradas totais, há 3 restrições independentes, sobrando 9-3=6 graus de liberdade. Portanto a dimensão do subespaço é 6.

Passo 4

Escolhemos como variáveis livres as entradas
a11,;a12,;a13,;a31,;a32,;a33
As demais vêm pelas restrições:
a21=a13, a22=a23=a33
Uma base conveniente usa as matrizes
E11,;E12,;E31,;E32,;E13+E21,;E22+E23+E33,
onde Eij é a matriz que tem 1 na posição (i,j) e 0 nas demais.

Resposta

Uma base é
l E11,;E12,;E31,;E32,;E13+E21,;E22+E23+E33 r,
e a dimensão desse subespaço é 6.

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