Questão 34: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de
formado pelas matrizes
tais que a segunda linha de
coincide com a terceira coluna de
. O conteúdo é subespaço vetorial, e vamos usar a ideia de equacionar as entradas, identificar as restrições lineares, parametrizar as matrizes e extrair uma base.
Passo 2
Seja
. A condição “segunda linha
terceira coluna” significa, para
,
Em particular:
Passo 3
Das três equações acima, vemos que
ficam expressos em função de
e
. Logo, das
entradas totais, há
restrições independentes, sobrando
graus de liberdade. Portanto a dimensão do subespaço é
.
Passo 4
Escolhemos como variáveis livres as entradas
As demais vêm pelas restrições:
Uma base conveniente usa as matrizes
onde
é a matriz que tem
na posição
e
nas demais.
Resposta
Uma base é
e a dimensão desse subespaço é
.