Sendo V o espaço vetorial das matrizes com entradas reais e , onde e são as matrizes dadas abaixo
onde ( a é seu último dígito do número de matrícula) determine uma base para o espaço vetorial ortogonal a U , usando o produto interno usual para matrizes .
Passo 1
O enunciado diz que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais, e que
onde
Queremos uma base de usando o produto interno usual
.
Passo 2
Seja
uma matriz genérica de . Impor significa
Calculamos cada um:
Passo 3
As condições de ortogonalidade formam o sistema linear
x + y + z - a,w = 0, 2x + y + 2z + w = 0
Passo 4
Vamos resolver em função de dois parâmetros livres. Da primeira equação,
x = -,y - z + a,w
Substituindo em 2x + y + 2z + w = 0 dá
2(-y - z + a w) + y + 2z + w = 0 ;Longrightarrow; -2y -2z +2a w + y +2z + w = 0 ;Longrightarrow; -y + (2a +1)w = 0 ;Longrightarrow; y = (2a+1),w
Logo
x = -l((2a+1)wr) - z + a,w = -z - (a+1),w
Passo 5
Definimos parâmetros s = z e t = w. Então
x = -s - (a+1),t, y = (2a+1),t, z = s, w = t
Isto mostra que
X = s-1 & 0 1 & 0 + t-(a+1) & 2a+1 0 & 1
Resposta
Uma base de U^perp é dada pelas duas matrizes independentes