Questão 34.

Usando o fato de que \mathbf{N}=\mathbf{B} \times \mathbf{T} e as fórmulas (4) e (5), mostre que
\frac{\mathrm{d} \mathbf{N}}{\mathrm{ds}}=-\kappa \mathbf{T}+\tau \mathbf{B}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B}.
Informações dadas (que vou usar explicitamente): a relação
\mathbf{N}=\mathbf{B}\times\mathbf{T}
e as fórmulas (4) e (5), que neste contexto são as duas igualdades padrão das fórmulas de Frenet-Serret:
\frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}=\kappa\mathbf{N}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}s}=-\tau\mathbf{N}
Nada mais será assumido além dessas três informações.

Passo 2

Regra para derivada do produto vetorial: se \mathbf{u}(s) e \mathbf{v}(s) são campos vetoriais dependentes de s, então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\big(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\big) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}s}\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}s}.
Essa regra é análoga à regra do produto em escalar e vem componente a componente do determinante que define o produto vetorial.
Também preciso usar as relações de produto vetorial entre os vetores da base de Frenet \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}. Como \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é uma base ortonormal e de mão direita, valem as identidades ciclícicas:
\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\mathbf{B},\qquad \mathbf{N}\times\mathbf{B}=\mathbf{T},\qquad \mathbf{B}\times\mathbf{T}=\mathbf{N}.
Dessas seguem as versões com sinal trocado quando permutamos a ordem, por exemplo
\mathbf{N}\times\mathbf{T}=-\mathbf{B},\qquad \mathbf{B}\times\mathbf{N}=-\mathbf{T}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto vetorial à expressão \mathbf{N}=\mathbf{B}\times\mathbf{T}, obtemos
\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}s}\times\mathbf{T} + \mathbf{B}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}.

Passo 4

Agora substituo as fórmulas (4) e (5), isto é \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}=\kappa\mathbf{N} e \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}s}=-\tau\mathbf{N}, na expressão do passo anterior:
\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s} = (-\tau\mathbf{N})\times\mathbf{T} + \mathbf{B}\times(\kappa\mathbf{N}).
Posso tirar os escalares \kappa e \tau para fora dos produtos vetoriais:
\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s} = -\tau\big(\mathbf{N}\times\mathbf{T}\big) + \kappa\big(\mathbf{B}\times\mathbf{N}\big).

Passo 5

Agora uso as identidades de passo 2 para simplificar cada termo:
\mathbf{N}\times\mathbf{T} = -\mathbf{B}\quad\Rightarrow\quad -\tau\big(\mathbf{N}\times\mathbf{T}\big) = -\tau(-\mathbf{B}) = \tau\mathbf{B},
\mathbf{B}\times\mathbf{N} = -\mathbf{T}\quad\Rightarrow\quad \kappa\big(\mathbf{B}\times\mathbf{N}\big) = \kappa(-\mathbf{T}) = -\kappa\mathbf{T}.
Somando os dois resultados:
\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s} = -\kappa\mathbf{T} + \tau\mathbf{B}.

Resposta

\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}s}=-\kappa \mathbf{T}+\tau \mathbf{B}

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