Questão 34.
Usando o fato de que
e as fórmulas (4) e (5), mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas (que vou usar explicitamente): a relação
e as fórmulas (4) e (5), que neste contexto são as duas igualdades padrão das fórmulas de Frenet-Serret:
Nada mais será assumido além dessas três informações.
Passo 2
Regra para derivada do produto vetorial: se
e
são campos vetoriais dependentes de
, então
Essa regra é análoga à regra do produto em escalar e vem componente a componente do determinante que define o produto vetorial.
Também preciso usar as relações de produto vetorial entre os vetores da base de Frenet
. Como
é uma base ortonormal e de mão direita, valem as identidades ciclícicas:
Dessas seguem as versões com sinal trocado quando permutamos a ordem, por exemplo
Passo 3
Aplicando a regra do produto vetorial à expressão
, obtemos
Passo 4
Agora substituo as fórmulas (4) e (5), isto é
e
, na expressão do passo anterior:
Posso tirar os escalares
e
para fora dos produtos vetoriais:
Passo 5
Agora uso as identidades de passo 2 para simplificar cada termo:
Somando os dois resultados: