Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Aqui ’ (apóstrofo) denota derivadas com relação a t). \tau=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime \prime \prime}}{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|^{2}}.
Informações dadas e hipóteses necessárias (assumimos para a demonstração):
\mathbf{r}(t) é uma curva com derivadas suficientes (até terceira) e \mathbf{r}'(t) nunca é zero (curva regular).
Supomos que \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) não são colineares, isto é, \left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|\neq 0 (para que a binormal esteja bem definida).
A notação apóstrofo denota derivada em relação a t: por exemplo \mathbf{r}'=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}.
Pergunta: provar a igualdade acima usando as fórmulas de Frenet–Serret.
Passo 2
Definições básicas de Frenet–Serret (passo-a-passo, sem pular):
Aqui \left|\mathbf{r}'\right| é a norma de \mathbf{r}'. Intuitivamente \mathbf{T} aponta na direção da velocidade da curva, só que normalizado.
Vetor normal principal \mathbf{N} (unitário) obtido por normalizar a derivada de \mathbf{T} em relação ao comprimento de arco s. Mas como estamos derivando em t, recorde que ds/dt=\left|\mathbf{r}'\right|. O vetor \mathbf{N} pode ser pensado como a direção de \mathbf{T}'.
Binormal unitário:
\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Este é unitário e ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N}.
As fórmulas de Frenet–Serret em função do parâmetro de comprimento de arco s são
onde \kappa é a curvatura e \tau é a torção (os querem provar a fórmula para \tau).
Como as derivadas no enunciado são em t, usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}=\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d}{ds}=\left|\mathbf{r}'\right|\dfrac{d}{ds}. Em particular:
Este é um ponto chave: a torção pode ser obtida a partir da derivada de \mathbf{B} ordinária (em t) projetada sobre \mathbf{N}, com o fator \left|\mathbf{r}'\right|.
Passo 3
Expressar \mathbf{B} em termos de \mathbf{r}',\mathbf{r}''. Vou mostrar por que \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é paralelo a \mathbf{B}.
Escrevemos \mathbf{r}'' como combinação das direções \mathbf{T} e \mathbf{N} (porque \{\mathbf{T},\mathbf{N}\} geram o plano oscilatório da curva):
\mathbf{r}''=a\mathbf{T}+b\mathbf{N}
para alguns escalares a,b (isto é sempre possível: decompor \mathbf{r}'' nas componentes paralelo e perpendicular a \mathbf{T}). Então
Tomamos produto escalar com \mathbf{N}. Note que \mathbf{A} é paralelo a \mathbf{B} por construção, enquanto \mathbf{N} é ortogonal a \mathbf{B}, então \mathbf{A}\cdot\mathbf{N}=0. Assim a segunda parcela desaparece ao fazer o produto escalar com \mathbf{N}. Portanto
Agora usamos que \mathbf{N}=\mathbf{B}\times\mathbf{T} (porque \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} e o tripé (\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}) é de mão direita). Substituindo,
Agora observe que \mathbf{r}' é paralelo a \mathbf{T}, logo \mathbf{r}'\cdot\mathbf{B}=0 e \mathbf{r}'\cdot\mathbf{T}=\left|\mathbf{r}'\right|. Substituindo:
onde na última igualdade trocamos a ordem do produto escalar e do produto vetorial (produto triplo escalar é invariante por permutações cíclicas). Substituindo de volta: