Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Aqui ’ (apóstrofo) denota derivadas com relação a t).
\tau=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime \prime \prime}}{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a fórmula
\tau=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime \prime \prime}}{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|^{2}}.
Informações dadas e hipóteses necessárias (assumimos para a demonstração):
  • \mathbf{r}(t) é uma curva com derivadas suficientes (até terceira) e \mathbf{r}'(t) nunca é zero (curva regular).
  • Supomos que \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) não são colineares, isto é, \left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|\neq 0 (para que a binormal esteja bem definida).
  • A notação apóstrofo denota derivada em relação a t: por exemplo \mathbf{r}'=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}.
    Pergunta: provar a igualdade acima usando as fórmulas de Frenet–Serret.

Passo 2

Definições básicas de Frenet–Serret (passo-a-passo, sem pular):
  • Vetor tangente unitário:
\mathbf{T}=\frac{\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}'\right|}.
Aqui \left|\mathbf{r}'\right| é a norma de \mathbf{r}'. Intuitivamente \mathbf{T} aponta na direção da velocidade da curva, só que normalizado.
  • Vetor normal principal \mathbf{N} (unitário) obtido por normalizar a derivada de \mathbf{T} em relação ao comprimento de arco s. Mas como estamos derivando em t, recorde que ds/dt=\left|\mathbf{r}'\right|. O vetor \mathbf{N} pode ser pensado como a direção de \mathbf{T}'.
  • Binormal unitário:
\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Este é unitário e ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N}.
  • As fórmulas de Frenet–Serret em função do parâmetro de comprimento de arco s são
\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\kappa \mathbf{N},\qquad \frac{d\mathbf{N}}{ds}=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B},\qquad \frac{d\mathbf{B}}{ds}=-\tau\mathbf{N},
onde \kappa é a curvatura e \tau é a torção (os querem provar a fórmula para \tau).
  • Como as derivadas no enunciado são em t, usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}=\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d}{ds}=\left|\mathbf{r}'\right|\dfrac{d}{ds}. Em particular:
\frac{d\mathbf{B}}{dt}=\left|\mathbf{r}'\right|\frac{d\mathbf{B}}{ds}=-\left|\mathbf{r}'\right|\tau\mathbf{N}.
Tomando produto escalar com \mathbf{N} obtemos
\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N}=-\left|\mathbf{r}'\right|\tau.
Dessa igualdade isolamos \tau:
\tau=-\frac{\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{r}'\right|}.
Este é um ponto chave: a torção pode ser obtida a partir da derivada de \mathbf{B} ordinária (em t) projetada sobre \mathbf{N}, com o fator \left|\mathbf{r}'\right|.

Passo 3

Expressar \mathbf{B} em termos de \mathbf{r}',\mathbf{r}''. Vou mostrar por que \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é paralelo a \mathbf{B}.
Escrevemos \mathbf{r}'' como combinação das direções \mathbf{T} e \mathbf{N} (porque \{\mathbf{T},\mathbf{N}\} geram o plano oscilatório da curva):
\mathbf{r}''=a\mathbf{T}+b\mathbf{N}
para alguns escalares a,b (isto é sempre possível: decompor \mathbf{r}'' nas componentes paralelo e perpendicular a \mathbf{T}). Então
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\left|\mathbf{r}'\right|\mathbf{T}\times(a\mathbf{T}+b\mathbf{N})=\left|\mathbf{r}'\right|b(\mathbf{T}\times\mathbf{N}).
Logo \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é paralelo a \mathbf{T}\times\mathbf{N}=\mathbf{B}. Como \mathbf{B} é unitário, segue que
\mathbf{B}=\frac{\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|}.
Isto justifica escrever a binormal diretamente pela normalização de \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''.

Passo 4

Diferenciar \mathbf{B} expresso por \mathbf{A}=\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Defina
\mathbf{A}=\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'', \qquad \mathbf{B}=\frac{\mathbf{A}}{\left|\mathbf{A}\right|}.
Agora derivamos \mathbf{B} em t. Usamos a regra do quociente vetorial (produto e derivada da norma):
\mathbf{B}'=\frac{\mathbf{A}'\left|\mathbf{A}\right|-\mathbf{A}\,\frac{d}{dt}\left|\mathbf{A}\right|}{\left|\mathbf{A}\right|^{2}}.
Tomamos produto escalar com \mathbf{N}. Note que \mathbf{A} é paralelo a \mathbf{B} por construção, enquanto \mathbf{N} é ortogonal a \mathbf{B}, então \mathbf{A}\cdot\mathbf{N}=0. Assim a segunda parcela desaparece ao fazer o produto escalar com \mathbf{N}. Portanto
\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N}=\frac{\mathbf{A}'\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{A}\right|}.
Agora calcule \mathbf{A}'. Pela regra da derivada de produto vetorial:
\mathbf{A}'=(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')'=\mathbf{r}''\times\mathbf{r}''+\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'''=\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''',
pois \mathbf{r}''\times\mathbf{r}''=\mathbf{0}. Assim
\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N}=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|}.

Passo 5

Voltar à expressão de \tau obtida no Passo 2 e substituir a expressão de \mathbf{B}'\cdot\mathbf{N} do Passo 4:
\tau=-\frac{\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{r}'\right|} =-\frac{1}{\left|\mathbf{r}'\right|}\cdot\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|} =-\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot\mathbf{N}}{\left|\mathbf{r}'\right|\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|}.
Agora usamos que \mathbf{N}=\mathbf{B}\times\mathbf{T} (porque \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} e o tripé (\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}) é de mão direita). Substituindo,
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot\mathbf{N}=(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{T}).
Aplicando a identidade do produto escalar de dois vetores cruzados
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{z})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{z})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{z})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}),
com \mathbf{u}=\mathbf{r}', \mathbf{v}=\mathbf{r}''', \mathbf{w}=\mathbf{B}, \mathbf{z}=\mathbf{T}, obtemos
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{T}) =(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})(\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{T})-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{T})(\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{B}).
Agora observe que \mathbf{r}' é paralelo a \mathbf{T}, logo \mathbf{r}'\cdot\mathbf{B}=0 e \mathbf{r}'\cdot\mathbf{T}=\left|\mathbf{r}'\right|. Substituindo:
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''')\cdot\mathbf{N}= -\left|\mathbf{r}'\right|(\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{B}).
Colocando isto na expressão para \tau do início deste passo:
\tau=-\frac{-\left|\mathbf{r}'\right|(\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{B})}{\left|\mathbf{r}'\right|\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|} =\frac{\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{B}}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|}.
Finalmente, usamos \mathbf{B}=\dfrac{\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|} para escrever
\mathbf{r}'''\cdot\mathbf{B}=\frac{(\mathbf{r}'''\cdot(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''))}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|} =\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|},
onde na última igualdade trocamos a ordem do produto escalar e do produto vetorial (produto triplo escalar é invariante por permutações cíclicas). Substituindo de volta:
\tau=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\left|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right|^{2}}.

Resposta

\displaystyle \tau=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right)\cdot\mathbf{r}^{\prime \prime \prime}}{\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right|^{2}}

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