Usando que
\kappa(\mathrm{t})=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(\mathrm{t}) \times \mathbf{r}^{\'\prime}(\mathrm{t})\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(\mathrm{t})\right|^{3}},
encontre a curvatura.
\mathbf{r}(\mathrm{t})=\mathrm{t} \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\mathrm{t} \overrightarrow{\boldsymbol{j}}+\left(1+\mathrm{t}^{2}\right) \overrightarrow{\boldsymbol{k}}.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula da curvatura
\kappa(\mathrm{t})=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(\mathrm{t}) \times \mathbf{r}^{\prime\prime}(\mathrm{t})\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(\mathrm{t})\right|^{3}}
e a curva
\mathbf{r}(\mathrm{t})=\mathrm{t}\,\overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\mathrm{t}\,\overrightarrow{\boldsymbol{j}}+\left(1+\mathrm{t}^{2}\right)\,\overrightarrow{\boldsymbol{k}}.
O que se pede é encontrar explicitamente \kappa(\mathrm{t}). Informações relevantes dadas: a expressão de \mathbf{r}(\mathrm{t}) (componentes em x,y,z) e a fórmula que relaciona \mathbf{r}', \mathbf{r}'', o produto vetorial e normas para obter \kappa(\mathrm{t}).

Passo 2

Vamos derivar \mathbf{r}(\mathrm{t}) componente a componente (regra: derivada de vetor é a derivada de cada componente). Assim,
\mathbf{r}'(\mathrm{t})=\frac{d}{d\mathrm{t}}\big(\mathrm{t},\;\mathrm{t},\;1+\mathrm{t}^{2}\big)
\mathbf{r}'(\mathrm{t})=(1,\;1,\;2\mathrm{t}).
Expliquei: a derivada de \mathrm{t} é 1; de 1+\mathrm{t}^{2} é 2\mathrm{t}.

Passo 3

Derivando \mathbf{r}'(\mathrm{t}) para obter \mathbf{r}''(\mathrm{t}):
\mathbf{r}''(\mathrm{t})=\frac{d}{d\mathrm{t}}(1,\;1,\;2\mathrm{t})=(0,\;0,\;2).
Observação: constantes derivam para zero; derivada de 2\mathrm{t} é 2.

Passo 4

Precisamos do produto vetorial \mathbf{r}'(\mathrm{t})\times\mathbf{r}''(\mathrm{t}). Usamos o determinante com as componentes (regra do produto vetorial):
\mathbf{r}'(\mathrm{t})\times\mathbf{r}''(\mathrm{t})= \begin{vmatrix} \overrightarrow{\boldsymbol{i}} & \overrightarrow{\boldsymbol{j}} & \overrightarrow{\boldsymbol{k}}\\[4pt] 1 & 1 & 2\mathrm{t}\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}.
Calculemos os cofatores:
\overrightarrow{\boldsymbol{i}}\,(1\cdot 2 - 2\mathrm{t}\cdot 0) -\overrightarrow{\boldsymbol{j}}\,(1\cdot 2 - 2\mathrm{t}\cdot 0) +\overrightarrow{\boldsymbol{k}}\,(1\cdot 0 - 1\cdot 0).
Portanto
\mathbf{r}'(\mathrm{t})\times\mathbf{r}''(\mathrm{t})=(2,\;-2,\;0).]

Passo 5

Agora calculamos a norma (módulo) do vetor resultante. A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Assim,
\left|\mathbf{r}'(\mathrm{t})\times\mathbf{r}''(\mathrm{t})\right|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 6

Precisamos também de \left|\mathbf{r}'(\mathrm{t})\right|. Usando a mesma fórmula de norma:
\left|\mathbf{r}'(\mathrm{t})\right|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(2\mathrm{t})^{2}}=\sqrt{2+4\mathrm{t}^{2}}.

Passo 7

A fórmula exige \left|\mathbf{r}'(\mathrm{t})\right|^{3}. Elevando ao cubo:
\left|\mathbf{r}'(\mathrm{t})\right|^{3}=\big(\sqrt{2+4\mathrm{t}^{2}}\big)^{3}=(2+4\mathrm{t}^{2})^{3/2}.

Passo 8

Substituímos no fórmula da curvatura:
\kappa(\mathrm{t})=\frac{2\sqrt{2}}{(2+4\mathrm{t}^{2})^{3/2}}.
Agora simplificamos fatorando 2 em 2+4\mathrm{t}^{2}:
2+4\mathrm{t}^{2}=2(1+2\mathrm{t}^{2})\quad\Rightarrow\quad(2+4\mathrm{t}^{2})^{3/2}=\big(2(1+2\mathrm{t}^{2})\big)^{3/2}=2^{3/2}(1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2}=2\sqrt{2}\,(1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2}.
Portanto
\kappa(\mathrm{t})=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\,(1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2}}=\frac{1}{(1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2}}.

Passo 9

Interpretação rápida (para fixar): \kappa(\mathrm{t}) é sempre não negativa e decai quando |\mathrm{t}| aumenta, porque (1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2} cresce. Em particular, \kappa(0)=1. Isso faz sentido: a curva fica menos curva (raio de curvatura aumenta) ao afastarmos de \mathrm{t}=0.

Resposta

\displaystyle \kappa(\mathrm{t})=\frac{1}{\big(1+2\mathrm{t}^{2}\big)^{3/2}}

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