O que se pede é encontrar explicitamente \kappa(\mathrm{t}). Informações relevantes dadas: a expressão de \mathbf{r}(\mathrm{t}) (componentes em x,y,z) e a fórmula que relaciona \mathbf{r}', \mathbf{r}'', o produto vetorial e normas para obter \kappa(\mathrm{t}).
Passo 2
Vamos derivar \mathbf{r}(\mathrm{t}) componente a componente (regra: derivada de vetor é a derivada de cada componente). Assim,
Observação: constantes derivam para zero; derivada de 2\mathrm{t} é 2.
Passo 4
Precisamos do produto vetorial \mathbf{r}'(\mathrm{t})\times\mathbf{r}''(\mathrm{t}). Usamos o determinante com as componentes (regra do produto vetorial):
Interpretação rápida (para fixar): \kappa(\mathrm{t}) é sempre não negativa e decai quando |\mathrm{t}| aumenta, porque (1+2\mathrm{t}^{2})^{3/2} cresce. Em particular, \kappa(0)=1. Isso faz sentido: a curva fica menos curva (raio de curvatura aumenta) ao afastarmos de \mathrm{t}=0.