QUESTÃO 35
A equação da reta tangente à curva
, em
, é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente a essa curva em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
.
A pergunta é: qual é a equação da reta tangente à curva no ponto com?
Passo 2
O que precisamos para escrever a equação da reta tangente?
Para escrever a reta precisamos de dois elementos: o ponto de tangência e o coeficiente angular (a inclinação) da reta. A forma de reta que vamos usar é a forma ponto-inclinação:
Para escrever a reta precisamos de dois elementos: o ponto de tangência e o coeficiente angular (a inclinação) da reta. A forma de reta que vamos usar é a forma ponto-inclinação:
onde
é o ponto por onde a reta passa e
é a inclinação (coeficiente angular). Aqui
e
. Ainda falta
.
Passo 3
Como encontramos a inclinação
da tangente?
A inclinação da reta tangente à curva num ponto é a derivada da função nesse ponto. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função; mais formalmente, a derivada de em
é o limite
A inclinação da reta tangente à curva num ponto é a derivada da função nesse ponto. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função; mais formalmente, a derivada de
Esse limite, quando existe, dá a inclinação da reta tangente em
. Vamos aplicar essa definição explícita à nossa função em
.
Passo 4
Calcular a derivada em
pelo limite (mostro passo a passo para você poder reproduzir na prova):
Começamos com
Agora aplicamos a definição:
Compute
:
Então o numerador fica
Dividindo por
:
Agora o limite quando
é simples:
Portanto a inclinação da tangente é
.
Observação rápida: esse processo é exatamente a definição de derivada; para potências como
existe a regra prática (regra do polinômio) que diz que a derivada de
é
. Aplicando essa regra rápida aqui teríamos
e então
, e avaliando em
dá
, o mesmo resultado.
Passo 5
Vamos obter o ponto de tangência completamente: já tínhamos
e calculamos
. Assim o ponto é
.
Passo 6
Agora usamos a forma ponto-inclinação com
e
:
Expandindo para colocar em forma explícita:
Resposta
(E)