QUESTÃO 35

A equação da reta tangente à curva y(x)=x^{2}-1, em \mathrm{x}=3, é igual a:
(A) y=x+8.
(B) y=3 x+3.
(C) y=6 x-3.
(D) y=9 x.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y(x)=x^{2}-1 e pede a equação da reta tangente a essa curva em \displaystyle x=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle y(x)=x^{2}-1.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa \displaystyle x=3.
    A pergunta é: qual é a equação da reta tangente à curva no ponto com \displaystyle x=3?

Passo 2

O que precisamos para escrever a equação da reta tangente?
Para escrever a reta precisamos de dois elementos: o ponto de tangência e o coeficiente angular (a inclinação) da reta. A forma de reta que vamos usar é a forma ponto-inclinação:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde \displaystyle (x_0,y_0) é o ponto por onde a reta passa e \displaystyle m é a inclinação (coeficiente angular). Aqui \displaystyle x_0=3 e \displaystyle y_0=y(3). Ainda falta \displaystyle m.

Passo 3

Como encontramos a inclinação \displaystyle m da tangente?
A inclinação da reta tangente à curva num ponto é a derivada da função nesse ponto. A derivada mede a taxa de variação instantânea da função; mais formalmente, a derivada de f em a é o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Esse limite, quando existe, dá a inclinação da reta tangente em \displaystyle x=a. Vamos aplicar essa definição explícita à nossa função em \displaystyle a=3.

Passo 4

Calcular a derivada em \displaystyle x=3 pelo limite (mostro passo a passo para você poder reproduzir na prova):
Começamos com
f(x)=x^{2}-1,\qquad f(3)=3^{2}-1=9-1=8.
Agora aplicamos a definição:
f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}.
Compute f(3+h):
f(3+h)=(3+h)^{2}-1=9+6h+h^{2}-1=8+6h+h^{2}.
Então o numerador fica
f(3+h)-f(3)=(8+6h+h^{2})-8=6h+h^{2}.
Dividindo por h:
\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{6h+h^{2}}{h}=6+h.
Agora o limite quando h\to 0 é simples:
f'(3)=\lim_{h\to 0}(6+h)=6.
Portanto a inclinação da tangente é \displaystyle m=6.
Observação rápida: esse processo é exatamente a definição de derivada; para potências como \displaystyle x^{2} existe a regra prática (regra do polinômio) que diz que a derivada de \displaystyle x^{n} é \displaystyle n x^{n-1}. Aplicando essa regra rápida aqui teríamos \displaystyle (x^{2})' = 2x e então \displaystyle (x^{2}-1)'=2x, e avaliando em \displaystyle x=3 \displaystyle 2\cdot 3=6, o mesmo resultado.

Passo 5

Vamos obter o ponto de tangência completamente: já tínhamos \displaystyle x_0=3 e calculamos \displaystyle y_0=f(3)=8. Assim o ponto é \displaystyle (3,8).

Passo 6

Agora usamos a forma ponto-inclinação com \displaystyle (x_0,y_0)=(3,8) e \displaystyle m=6:
y-8=6(x-3).
Expandindo para colocar em forma explícita:
y-8=6x-18
y=6x-18+8
y=6x-10.

Resposta

(E)

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