QUESTÃO 33
Seja
, então o valor da derivada de
, calculada pela definição é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor da derivada de
calculada pela definição.
Informações relevantes: a função é e a operação pedida é “derivada calculada pela definição” (ou seja, usando o quociente incremental e o limite).
Informações relevantes: a função é
Passo 2
Vamos escrever a definição de derivada (isso é o que significa “calcular pela definição”). A derivada de
em um ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento
tende a zero:
Explicando cada peça:
é um pequeno acréscimo em
;
é a diferença de valores da função (a variação de
quando
varia em
); dividir por
dá a “inclinação média” (coeficiente angular da secante); o limite quando
dá a inclinação da tangente, que é a derivada.
Passo 3
Agora substituímos na definição a função dada. Primeiro calcule
:
Colocando isso no quociente incremental:
Passo 4
Vamos desenvolver o numerador passo a passo. Expanda
:
Substituindo na expressão do numerador:
Observe que
e
se cancelam, e
e
também se cancelam, sobrando
Passo 5
Colocando isso sobre
e fatorando
no numerador:
Para
podemos simplificar o
:
Lembre-se: no cálculo do limite consideramos valores de
diferentes de zero que se aproximam de zero, então essa simplificação é válida.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Usei a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites, e
.
Passo 7
Interpretação final e dica prática: a parte constante
desapareceu porque constantes têm derivada zero; a parte
gerou
. É exatamente o resultado que a regra do poder (power rule) nos daria rapidamente: a derivada de
é
, então de
vem
. Mas aqui mostramos o cálculo pela definição, passo a passo.
Resposta
(B)