QUESTÃO 33

Seja y(x)=x^{2}-1, então o valor da derivada de y(x), calculada pela definição é igual a:
(A) y^{\prime}(x)=x.
(B) y^{\prime}(x)=2 x.
(C) y^{\prime}(x)=2 x-1.
(D) y^{\prime}(x)=2.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=x^{2}-1 e pede o valor da derivada de y calculada pela definição.
Informações relevantes: a função é y(x)=x^{2}-1 e a operação pedida é “derivada calculada pela definição” (ou seja, usando o quociente incremental e o limite).

Passo 2

Vamos escrever a definição de derivada (isso é o que significa “calcular pela definição”). A derivada de y em um ponto x é o limite do quociente incremental quando o incremento h tende a zero:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Explicando cada peça: h é um pequeno acréscimo em x; y(x+h)-y(x) é a diferença de valores da função (a variação de y quando x varia em h); dividir por h dá a “inclinação média” (coeficiente angular da secante); o limite quando h\to 0 dá a inclinação da tangente, que é a derivada.

Passo 3

Agora substituímos na definição a função dada. Primeiro calcule y(x+h):
y(x+h)=(x+h)^{2}-1.
Colocando isso no quociente incremental:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{(x+h)^{2}-1-\bigl(x^{2}-1\bigr)}{h}.

Passo 4

Vamos desenvolver o numerador passo a passo. Expanda (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo na expressão do numerador:
(x+h)^{2}-1-\bigl(x^{2}-1\bigr)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-1-x^{2}+1.
Observe que -1 e +1 se cancelam, e x^{2} e -x^{2} também se cancelam, sobrando
2xh+h^{2}.

Passo 5

Colocando isso sobre h e fatorando h no numerador:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}.
Para h\neq 0 podemos simplificar o h:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=2x+h.
Lembre-se: no cálculo do limite consideramos valores de h diferentes de zero que se aproximam de zero, então essa simplificação é válida.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
y'(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+\lim_{h\to 0}h=2x+0=2x.
Usei a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites, e \lim_{h\to 0}h=0.

Passo 7

Interpretação final e dica prática: a parte constante -1 desapareceu porque constantes têm derivada zero; a parte x^{2} gerou 2x. É exatamente o resultado que a regra do poder (power rule) nos daria rapidamente: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, então de x^{2} vem 2x. Mas aqui mostramos o cálculo pela definição, passo a passo.

Resposta

(B) y'(x)=2x

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