Verifique que Im(f) subset Dom(g) e determine g circ f se:
a) f(x)=x+2, g(x)=3 x+1
b) f(x)=x^2+2, g(x)=raizx
c) f(x)=x^2+3, g(x)=x+1x-2
d) f(x)=2 x-3, g(x)=-x^2+3 x+1
e) f(x)=x+1, g(x)=2x-2

Passo 1

O exercício pede para verificar que Im(f)subsetDom(g) e depois determinar gcirc f nos cinco casos. O conteúdo é composição de funções e checagem de domínio/imagem usando a definição gcirc f(x)=g(f(x)) e Dom(gcirc f)=xinDom(f)mid f(x)inDom(g).

Passo 2

Caso (a): Temos f(x)=x+2 e g(x)=3x+1. Imagem de f é Im(f)=R. Domínio de g é Dom(g)=R (polinomial). Como RsubsetR, a composição existe para todo x. Calculando:
gcirc f(x)=g(f(x))=3(x+2)+1=3x+7

Passo 3

Caso (b): f(x)=x^2+2 tem Im(f)=[2,infty). g(x)=raizx exige x>=0, ou seja Dom(g)=[0,infty). Como [2,infty)subset[0,infty), compõe para todo x. Então:
gcirc f(x)=raizx^2+2

Passo 4

Caso ©: f(x)=x^2+3 tem Im(f)=[3,infty). g(x)=x+1x-2 tem Dom(g)=Rsetminus2. Como x^2+3=2 não tem solução real, [3,infty)subsetRsetminus2. Calculando:
gcirc f(x)=(x^2+3)+1(x^2+3)-2=x^2+4x^2+1

Passo 5

Caso (d): f(x)=2x-3 tem Im(f)=R. g(x)=-x^2+3x+1 é polinomial, logo Dom(g)=R. Composição para todo x. Então:
gcirc f(x)=-(2x-3)^2+3(2x-3)+1=-4x^2+18x-17

Passo 6

Caso (e): f(x)=x+1 tem Im(f)=R. g(x)=2x-2 exige xneq2, ou seja Dom(g)=Rsetminus2. Como f(1)=2, nem toda imagem de f cai em Dom(g); falta o valor x=1. Logo a composição existe apenas para xneq1. Calculando:
gcirc f(x)=2(x+1)-2=2x-1, xneq1

Resposta

a) gcirc f(x)=3x+7;
b) gcirc f(x)=raizx^2+2;
c) gcirc f(x)=x^2+4x^2+1;
d) gcirc f(x)=-4x^2+18x-17;
e) composição definida para xneq1: gcirc f(x)=2x-1.

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