Questão 2. (35 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
t^2 y^prime prime-t(t+2) y^prime+(t+2) y=t^3 e^-t
Sabemos que sua solução geral é da forma: y(t)=C1 y1(t)+C2 y2(t)+Y(t), onde y1 e y2 são soluções fundamentais da equação homogênea associada, Y(t) é alguma solução particular de (1) e C1, C2 são constantes arbitrárias. Também sabemos pelo Teorema de Abel que o Wronskiano de duas soluções fundamentais satisfaz (veja o formulário no final)
W(y1, y2)=y1(t) y2^prime(t)-y1^prime(t) y2(t)=exp (-integral p(t) d t)
VERIFIQUE que y1(t)=t é uma solução da equação homogênea.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão! Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem:
t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = t^3 e^-t
O que precisamos fazer aqui é verificar se $ y_{1}(t) = t $ é uma solução da equação homogênea associada, que é a parte sem o lado direito da equação (ou seja, igual a zero). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y_{1}(t) $ e substituir na equação homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação homogênea associada retirando o lado direito da equação original:
t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 0
Nossa missão é provar que $ y_{1}(t) = t $ satisfaz essa equação.

Passo 3

Para verificar isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de $ y_{1}(t) = t $.
A primeira derivada ($ y’ $) é:
y1(t) = t
A segunda derivada ($ y’’ $) é:
y'

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação homogênea:
y1(t)
Substituindo:
y1'(t)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
t^2 cdot 0 = 0
Segundo termo:
- t(t+2) cdot 1 = -t(t+2) = -t^2 - 2t
Terceiro termo:
(t+2) cdot t = t(t+2) = t^2 + 2t
Agora, somando todos os termos:
0 - t^2 - 2t + t^2 + 2t = 0

Resposta

Como todos os termos se cancelam e a igualdade fica $ 0 = 0 $, concluímos que $ y_{1}(t) = t $ é uma solução da equação homogênea associada.

Exercícios relacionados