Questão 2. (35 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
Sabemos que sua solução geral é da forma:
, onde
são soluções fundamentais da equação homogênea associada,
é alguma solução particular de (1) e
são constantes arbitrárias. Também sabemos pelo Teorema de Abel que o Wronskiano de duas soluções fundamentais satisfaz (veja o formulário no final)
VERIFIQUE que
é uma solução da equação homogênea.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão! Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem:
O que precisamos fazer aqui é verificar se $ y_{1}(t) = t $ é uma solução da equação homogênea associada, que é a parte sem o lado direito da equação (ou seja, igual a zero). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y_{1}(t) $ e substituir na equação homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação homogênea associada retirando o lado direito da equação original:
Nossa missão é provar que $ y_{1}(t) = t $ satisfaz essa equação.
Passo 3
Para verificar isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de $ y_{1}(t) = t $.
A primeira derivada ($ y’ $) é:
A segunda derivada ($ y’’ $) é:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação homogênea:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:
Resposta
Como todos os termos se cancelam e a igualdade fica $ 0 = 0 $, concluímos que $ y_{1}(t) = t $ é uma solução da equação homogênea associada.