^a Questäo. (35 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
l x^prime(t)=-y y^prime(t)=x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
x'(t) = -y(t), y'(t) = x(t)
Este sistema representa o oscilador harmônico. Para resolver, vamos eliminar y e obter uma equação de segunda ordem em x.

Passo 2

A partir de x'(t) = -y(t), derivamos em relação a t:
x''(t) = -y'(t)
Substituindo y'(t) pela segunda equação y'(t)=x(t), obtemos
x''(t) = -,x(t)

Passo 3

A equação x''(t) + x(t) = 0 é a clássica do oscilador harmônico. Sua solução geral é
x(t) = C1cos t + C2sin t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Para determinar y(t), usamos x'(t) = -y(t). Primeiro:
x'(t) = -C1sin t + C2cos t
Logo,
y(t) = -,x'(t) = C1sin t - C2cos t

Resposta

x(t) = C1cos t + C2sin t, y(t) = C1sin t - C2cos t,
com C1,C2inR constantes arbitrárias.

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