3^a Questão: Para cada um dos itens a seguir determinar:
f^prime(3), sendo f(5+2 x)+f(2 x^2+1)=4 x^2+4 x+2;

Passo 1

O enunciado nos dá uma relação funcional envolvendo f:
f(5+2x)+fl(2x^2+1r)=4x^2+4x+2
e pede o valor de f'(3). O conteúdo envolvido é a derivação de composições de funções (regra da cadeia) e avaliação de identidade para descobrir f'(3).

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, usando que
ddxfl(g(x)r)=f'l(g(x)r),g'(x)
No lado esquerdo,
ddxf(5+2x)=f'(5+2x)cdot2, ddxfl(2x^2+1r)=f'l(2x^2+1r)cdot4x
No lado direito,
ddxl(4x^2+4x+2r)=8x+4
Portanto obtemos a identidade
2,f'(5+2x)+4x,f'l(2x^2+1r)=8x+4

Passo 3

Para isolar f'(3), procuramos um valor de x que faça cada argumento das derivadas igual a 3. Note que
5+2x=3Longrightarrow x=-1,
e também
2x^2+1=3Longrightarrow x^2=1Longrightarrow x=pm1
Escolhemos x=-1 porque assim ambos 5+2x e 2x^2+1 valem 3, simplificando a identidade.

Passo 4

Substituindo x=-1 em
2,f'(5+2x)+4x,f'l(2x^2+1r)=8x+4,
temos
2,f'(3)+4(-1),f'(3)=8(-1)+4 Longrightarrow 2f'(3)-4f'(3)=-8+4 Longrightarrow -2,f'(3)=-4
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f'(3)=2

Resposta

f'(3)=2

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