Qual dos alternativas abaixo representa possíveis coordenadas polares do ponto (x, y)=(-2,3) ?
(A) (r, theta)=(raiz13, arcsen(3 / raiz13)).
(B) (r, theta)=(raiz13, 2 pi+arcsen(3 / raiz13)).
(C) (r, theta)=(raiz13, pi+arcsen(3 / raiz13)).
(D) (r, theta)=(raiz13, pi-arcsen(3 / raiz13)).
(E) (r, theta)=(raiz13, 2 pi-arcsen(3 / raiz13)).
(F) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas polares (r,theta) do ponto (x,y)=(-2,3). O conteúdo que vamos usar é a definição de coordenadas polares:
r = distância do ponto à origem, e
x = rcostheta, y = rsintheta
Precisamos calcular r e depois achar um ângulo theta que reproduza x=-2 e y=3.

Passo 2

Calcular r pela fórmula da distância:
r = raizx^2 + y^2 = raiz(-2)^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13

Passo 3

Usar as relações trigonométricas:
sintheta = yr = 3raiz13, costheta = xr = -2raiz13
Sabemos que arcsin(3/raiz13) é um ângulo alpha em [-tfracpi2,tfracpi2] (1º quadrante, onde cosalpha>0). Mas nosso ponto está no 2º quadrante (x negativo, y positivo), logo o ângulo correto é
theta = pi - alpha com alpha = arcsin!l(tfrac3raiz13r)

Passo 4

Comparando com as opções dadas, vemos que
theta = pi - arcsin!l(tfrac3raiz13r)
corresponde exatamente à alternativa (D).

Resposta

(D) (r,theta)=(raiz13, pi-arcsin(3/raiz13))

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