QUESTÃO 36

Calcule a integral indefinida abaixo e assinale a opção correta.
\int \frac{e^{3 x}}{e^{6 x}+2 e^{3 x}+1} d x
(A) \frac{1}{3}\left(1+e^{3 x}\right)^{-1}+c
(B) \frac{-1}{3}\left(1+e^{3 x}\right)^{-1}+c
(C) \frac{2}{3}\left(1+e^{6 x}\right)^{-1}+c
(D) \frac{-2}{3}\left(1+e^{6 x}\right)^{-1}+c
(E) \frac{1}{3}\left(1+2 e^{3 x}\right)^{-1}+c

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{3x}}{e^{6x} + 2e^{3x} + 1}\,dx
O conteúdo principal aqui é usar substituição para lidar com a derivada de e^{3x}, já que aparece no numerador, e reconhecer padrões no denominador.

Passo 2

Note que o denominador é um quadrado perfeito, pois
e^{6x} + 2e^{3x} + 1 = \bigl(e^{3x} + 1\bigr)^{2}.
Assim a integral fica
\int \frac{e^{3x}}{(e^{3x}+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = e^{3x} + 1.
Dessa forma \,du = 3e^{3x}\,dx
ou seja e^{3x}\,dx = \tfrac{1}{3}\,du.
A integral transforma-se em
\int \frac{e^{3x}}{(e^{3x}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{3}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{3u} + C.

Passo 5

Voltando a x, temos u = e^{3x}+1, logo
-\frac{1}{3u} + C = -\frac{1}{3\,(e^{3x}+1)} + C.
Esta expressão coincide com a opção (B).

Resposta

(B) \displaystyle -\frac{1}{3}\bigl(1+e^{3x}\bigr)^{-1}+c

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