Questão 37
O coeficiente de
no polinômio
cujas raízes são 0 com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade n , é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá um polinômio de grau
cujo termo de maior grau é
e o termo seguinte é
. Diz também que as raízes do polinômio são:
com multiplicidade
e
com multiplicidade
. A pergunta é: qual é o coeficiente de
nesse polinômio?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O polinômio é monico (coeficiente de
igual a ). - Raiz
com multiplicidade (logo fator ). - Raiz
com multiplicidade (logo fator ). - O coeficiente de
é (informação que relaciona e ). - Pedido: coeficiente de
.
Passo 2
Construir explicitamente o polinômio a partir das raízes (por fatoração): como o polinômio é monico e tem as raízes e multiplicidades dadas, ele é
Explicação curta: um polinômio monico cuja única raiz é
com multiplicidade
tem fator
; aqui há raíz
(fator
) e
(fator
).
Passo 3
Aplicar o Teorema do Binômio para expandir
. A expansão é
Aqui
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
elementos entre
), e o termo geral vem de escolher
vezes o termo
na expansão.
Passo 4
Multiplicando por
obtemos o polinômio completo em forma de soma:
Nesse somatório, o termo associado a um dado
é
.
Para encontrar o coeficiente de
igualamos o expoente:
Portanto o coeficiente buscado é o termo com
:
Usando
, obtemos
Passo 5
Agora usamos a informação do coeficiente de
(que no enunciado é
) para relacionar
e
. No somatório de cima, o termo de grau
corresponde a
, ou seja
. Assim o coeficiente de
em
é
Como esse coeficiente é dado no enunciado como
, temos
Passo 6
Resolver
para
:
Substituir esse
na expressão do coeficiente de
obtida no Passo 4, que é
:
Calcular passo a passo:
logo
Expandindo, isso é
Passo 7
Interpretação final: o coeficiente de
do polinômio monico cujas raízes são
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
) é
. Isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)