Questão 37

O coeficiente de x^{n+1} no polinômio x^{n+3}+a \cdot x^{n+2}+\cdots cujas raízes são 0 com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade n , é:
(A) a+2
(B) a^{2}+2 \cdot a
(C) \frac{\left(a^{2}+2 . a\right)}{2}
(D) a^{3}+a
(E) a^{3}

Passo 1

O enunciado dá um polinômio de grau n+3 cujo termo de maior grau é x^{n+3} e o termo seguinte é a\cdot x^{n+2}. Diz também que as raízes do polinômio são: 0 com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade n. A pergunta é: qual é o coeficiente de x^{n+1} nesse polinômio?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio é monico (coeficiente de x^{n+3} igual a 1).
  • Raiz 0 com multiplicidade 3 (logo fator x^3).
  • Raiz 2 com multiplicidade n (logo fator (x-2)^n).
  • O coeficiente de x^{n+2} é a (informação que relaciona a e n).
  • Pedido: coeficiente de x^{n+1}.

Passo 2

Construir explicitamente o polinômio a partir das raízes (por fatoração): como o polinômio é monico e tem as raízes e multiplicidades dadas, ele é
P(x)=x^{3}(x-2)^{n}.
Explicação curta: um polinômio monico cuja única raiz é r com multiplicidade m tem fator (x-r)^m; aqui há raíz 0 (fator x^3) e 2 (fator (x-2)^n).

Passo 3

Aplicar o Teorema do Binômio para expandir (x-2)^{n}. A expansão é
(x-2)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}(-2)^{k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k elementos entre n), e o termo geral vem de escolher k vezes o termo -2 na expansão.

Passo 4

Multiplicando por x^{3} obtemos o polinômio completo em forma de soma:
P(x)=x^{3}(x-2)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-2)^{k}x^{\,n+3-k}.
Nesse somatório, o termo associado a um dado k é \binom{n}{k}(-2)^{k}x^{\,n+3-k}.
Para encontrar o coeficiente de x^{n+1} igualamos o expoente:
n+3-k=n+1 \quad\Rightarrow\quad k=2.
Portanto o coeficiente buscado é o termo com k=2:
\text{coeficiente de }x^{n+1}= \binom{n}{2}(-2)^{2} = \binom{n}{2}\cdot 4.
Usando \displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}, obtemos
\text{coeficiente de }x^{n+1}=4\cdot\frac{n(n-1)}{2}=2\,n(n-1).

Passo 5

Agora usamos a informação do coeficiente de x^{n+2} (que no enunciado é a) para relacionar a e n. No somatório de cima, o termo de grau x^{n+2} corresponde a n+3-k=n+2, ou seja k=1. Assim o coeficiente de x^{n+2} em P(x) é
\binom{n}{1}(-2)^{1} = n\cdot(-2) = -2n.
Como esse coeficiente é dado no enunciado como a, temos
a = -2n.

Passo 6

Resolver a=-2n para n:
n = -\frac{a}{2}.
Substituir esse n na expressão do coeficiente de x^{n+1} obtida no Passo 4, que é 2\,n(n-1):
2\,n(n-1)=2\left(-\frac{a}{2}\right)\left(-\frac{a}{2}-1\right).
Calcular passo a passo:
-\frac{a}{2}-1 = -\frac{a+2}{2},
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2\left(-\frac{a}{2}\right)\left(-\frac{a+2}{2}\right) =2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a+2}{2} =\frac{2}{1}\cdot\frac{a(a+2)}{4} =\frac{a(a+2)}{2}.
Expandindo, isso é
\frac{a^{2}+2a}{2}.

Passo 7

Interpretação final: o coeficiente de x^{n+1} do polinômio monico cujas raízes são 0 (multiplicidade 3) e 2 (multiplicidade n) é \dfrac{a^{2}+2a}{2}. Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) \dfrac{a^{2}+2a}{2}

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