QUESTÃO 37

O valor da inclinação da reta tangente à curva y(x)=\sqrt{2 x}, calculada em \mathrm{x}=2 é igual a:
(A) y^{\prime}(2)=1 / 2.
(B) y^{\prime}(2)=1.
(C) y^{\prime}(2)=\sqrt{2}.
(D) y^{\prime}(x)=1 / \sqrt{2}.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva y(x)=\sqrt{2 x} no ponto onde x=2.
Informações dadas:
y(x)=\sqrt{2 x}
\text{avaliar a inclinação (ou seja, }y'(2)\text{) em }x=2.çã
As alternativas mostram possíveis valores para y'(2).

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas antes de aplicar): a inclinação da reta tangente a uma curva y(x) em um ponto é a derivada y'(x) avaliada naquele ponto.
Regra útil para funções do tipo \sqrt{u(x)} = (u(x))^{1/2}: pela regra da cadeia,
y=\sqrt{u(x)} \quad\Rightarrow\quad y'=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u(x) é a função interna (o que está dentro da raiz) e u'(x) é sua derivada. A ideia: derivamos a parte externa (\cdot)^{1/2} que dá \tfrac{1}{2}(\cdot)^{-1/2} e multiplicamos pela derivada da parte interna (regra da cadeia).

Passo 3

Identificamos a função interna para o nosso caso:
u(x)=2x.
Derivada da parte interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
y'=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}.
Expliquei passo a passo: começamos com \tfrac{2}{2\sqrt{2x}}, o 2 do numerador cancela com o 2 do denominador, sobrando \tfrac{1}{\sqrt{2x}}.

Passo 5

Agora avaliamos em x=2:
y'(2)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

(Seguindo outro caminho — só para fixar:) podemos reescrever y=\sqrt{2x}=\sqrt{2}\,\sqrt{x}. Derivando:
y'=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}.
Em x=2 temos \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}, mesma resposta — consistente.

Resposta

(A) y'(2)=\frac{1}{2}

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