Questão 38 (OBMEP). Por um empréstimo de R$80.000, 00, à taxa de
ao mês, paga-se, de uma única vez, apos 2 meses, o montante de
115.200,00$. Por terem sido aplicados juros compostos, qual a taxa mensal aplicada?
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo de R$
que, aplicado a juros compostos a uma taxa mensal de
, resulta num pagamento único, após
meses, de R$
.
Pergunta: qual é a taxa mensal aplicada?
Pergunta: qual é a taxa mensal
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Capital emprestado (principal):
(reais). - Montante pago após
meses: (reais). - Número de períodos (meses):
. - Taxa mensal em porcentagem:
(o que queremos encontrar). Podemos trabalhar com a taxa em forma decimal .
Passo 2
Apresentação da fórmula de juros compostos e explicação das variáveis.
A fórmula que relaciona montante
, capital
, taxa decimal por período
e número de períodos
é:
O que cada símbolo significa:
-
: montante acumulado após períodos (valor final). -
: capital inicial ou principal (valor emprestado). -
: taxa de juros por período, em forma decimal (por exemplo, para ). -
: número de períodos de capitalização (neste caso, meses).
Por que essa fórmula? Porque a cada período o capital é multiplicado por
; depois de
períodos multiplicamos
por
repetidamente, o que dá
.
Passo 3
Identificação dos valores no problema e substituição na fórmula.
Substituímos
,
e
na fórmula:
Aqui
é a taxa mensal em forma decimal, isto é
. Nosso objetivo é isolar
.
Passo 4
Isolando
dividindo ambos os lados por
.
Dividindo a equação por
:
Calculemos a fração passo a passo:
Portanto:
Passo 5
Extraindo a raiz quadrada para encontrar
.
Tomamos a raiz quadrada em ambos os lados:
Como
(porque
e
), temos
Logo:
Passo 6
Encontrando
e convertendo para porcentagem.
Subtraindo
de ambos os lados:
Convertendo para porcentagem:
Verificação rápida (checar contas):
confirma que está correto.