Questão 38 (OBMEP). Por um empréstimo de R$80.000, 00, à taxa de i \%ao mês, paga-se, de uma única vez, apos 2 meses, o montante de \mathrm{R} \115.200,00$. Por terem sido aplicados juros compostos, qual a taxa mensal aplicada?

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de R$ 80.000,00 que, aplicado a juros compostos a uma taxa mensal de i\%, resulta num pagamento único, após 2 meses, de R$ 115.200,00.
Pergunta: qual é a taxa mensal i\% aplicada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Capital emprestado (principal): P = 80.000,00 (reais).
  • Montante pago após 2 meses: M = 115.200,00 (reais).
  • Número de períodos (meses): n = 2.
  • Taxa mensal em porcentagem: i\% (o que queremos encontrar). Podemos trabalhar com a taxa em forma decimal r = \dfrac{i}{100}.

Passo 2

Apresentação da fórmula de juros compostos e explicação das variáveis.
A fórmula que relaciona montante M, capital P, taxa decimal por período r e número de períodos n é:
M = P(1+r)^n.
O que cada símbolo significa:
  • M: montante acumulado após n períodos (valor final).
  • P: capital inicial ou principal (valor emprestado).
  • r: taxa de juros por período, em forma decimal (por exemplo, 0{,}2 para 20\%).
  • n: número de períodos de capitalização (neste caso, meses).
Por que essa fórmula? Porque a cada período o capital é multiplicado por (1+r); depois de n períodos multiplicamos P por (1+r) repetidamente, o que dá P(1+r)^n.

Passo 3

Identificação dos valores no problema e substituição na fórmula.
Substituímos P, M e n na fórmula:
115.200,00 = 80.000,00\,(1+r)^2.
Aqui r é a taxa mensal em forma decimal, isto é r=\dfrac{i}{100}. Nosso objetivo é isolar r.

Passo 4

Isolando (1+r)^2 dividindo ambos os lados por P.
Dividindo a equação por 80.000,00:
(1+r)^2 = \frac{115.200,00}{80.000,00}.
Calculemos a fração passo a passo:
\frac{115.200,00}{80.000,00}=\frac{115200}{80000}=\frac{1152}{800}=\frac{144}{100}=1{,}44.
Portanto:
(1+r)^2 = 1{,}44.

Passo 5

Extraindo a raiz quadrada para encontrar 1+r.
Tomamos a raiz quadrada em ambos os lados:
1+r = \sqrt{1{,}44}.
Como 1{,}44=\left(\dfrac{12}{10}\right)^2 (porque 12^2=144 e 10^2=100), temos
\sqrt{1{,}44}=\frac{12}{10}=1{,}2.
Logo:
1+r=1{,}2.

Passo 6

Encontrando r e convertendo para porcentagem.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
r = 1{,}2-1 = 0{,}2.
Convertendo para porcentagem:
i = 100\cdot r = 100\cdot 0{,}2 = 20\%.
Verificação rápida (checar contas):
80.000,00\cdot(1+0{,}2)^2 = 80.000,00\cdot 1{,}44 = 115.200,00,
confirma que está correto.

Resposta

20\%

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