Questão 42 (OBMEP). Uma pessoa aplicou metade do seu capital a taxa de
ao semestre no regime de juros compostos e a outra metade a taxa de
ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano um montante de
4.200,00$. Qual o capital inicial desta pessoa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados:
- Capital inicial desconhecido:
. - Metade do capital foi aplicada à taxa de
ao semestre, no regime de juros compostos. - A outra metade foi aplicada à taxa de
ao quadrimestre, no regime de juros simples. - O prazo total é de
ano. - Montante total obtido ao final do ano:
.
Pergunta: qual é o valor do capital inicial
?
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e o significado de cada símbolo (aula curta e prática).
- Para juros compostos, a fórmula do montante é
onde
é o montante final,
é o capital inicial aplicado (principal),
é a taxa por período (em forma decimal) e
é o número de períodos. A ideia: a cada período os juros entram no capital e também rendem nos períodos seguintes (juros sobre juros).
- Para juros simples, a fórmula do montante é
onde os símbolos têm o mesmo significado. Aqui os juros são calculados sempre sobre o capital inicial
, então o total de juros crescem linearmente com o número de períodos.
Observação sobre períodos: como o prazo é
ano, temos
ano =
semestres =
quadrimestres. Sempre verifique isso para aplicar a taxa no número correto de períodos.
Passo 3
Aplicando a fórmula de juros compostos à metade que rendeu
ao semestre:
- A metade do capital é
. - A taxa por semestre é
. - Em
ano há semestres, então .
O montante dessa metade ao final do ano é
Calcule
:
.
Logo
Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula de juros simples à metade que rendeu
ao quadrimestre:
- A metade do capital é
. - A taxa por quadrimestre é
. - Em
ano há quadrimestres, então .
O montante dessa metade ao final do ano é
Calcule
, portanto
Passo 5
O montante total é a soma das duas partes, e isso é dado como
. Montando a equação:
Fatorando
:
Some os fatores:
. Então
Isolando
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Como
, segue que
Passo 6
Cheque rápido (confere se ficou plausível): metade do capital é
.
- Parcela com juros compostos:
. - Parcela com juros simples:
.
Soma:, bate certinho com o montante dado. Boa!