Questão 42 (OBMEP). Uma pessoa aplicou metade do seu capital a taxa de 30 \% ao semestre no regime de juros compostos e a outra metade a taxa de 27 \% ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano um montante de \mathrm{R} \ 4.200,00$. Qual o capital inicial desta pessoa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados:
  • Capital inicial desconhecido: C.
  • Metade do capital foi aplicada à taxa de 30\% ao semestre, no regime de juros compostos.
  • A outra metade foi aplicada à taxa de 27\% ao quadrimestre, no regime de juros simples.
  • O prazo total é de 1 ano.
  • Montante total obtido ao final do ano: \mathrm{R}\$\,4.200,00.
Pergunta: qual é o valor do capital inicial C?

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e o significado de cada símbolo (aula curta e prática).
  • Para juros compostos, a fórmula do montante é
M = P(1+i)^n
onde M é o montante final, P é o capital inicial aplicado (principal), i é a taxa por período (em forma decimal) e n é o número de períodos. A ideia: a cada período os juros entram no capital e também rendem nos períodos seguintes (juros sobre juros).
  • Para juros simples, a fórmula do montante é
M = P(1 + i n)
onde os símbolos têm o mesmo significado. Aqui os juros são calculados sempre sobre o capital inicial P, então o total de juros crescem linearmente com o número de períodos.
Observação sobre períodos: como o prazo é \,1 ano, temos \,1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres. Sempre verifique isso para aplicar a taxa no número correto de períodos.

Passo 3

Aplicando a fórmula de juros compostos à metade que rendeu 30\% ao semestre:
  • A metade do capital é \dfrac{C}{2}.
  • A taxa por semestre é 30\% = 0,30.
  • Em 1 ano há 2 semestres, então n=2.
    O montante dessa metade ao final do ano é
M_1 = \frac{C}{2}\bigl(1+0,30\bigr)^2 = \frac{C}{2}\cdot 1,3^2.
Calcule 1,3^2: 1,3^2 = 1,3\times 1,3 = 1,69.
Logo
M_1 = \frac{C}{2}\cdot 1,69.

Passo 4

Aplicando a fórmula de juros simples à metade que rendeu 27\% ao quadrimestre:
  • A metade do capital é \dfrac{C}{2}.
  • A taxa por quadrimestre é 27\% = 0,27.
  • Em 1 ano há 3 quadrimestres, então n=3.
    O montante dessa metade ao final do ano é
M_2 = \frac{C}{2}\bigl(1 + 0,27\cdot 3\bigr).
Calcule 0,27\cdot 3 = 0,81, portanto
M_2 = \frac{C}{2}\cdot (1 + 0,81) = \frac{C}{2}\cdot 1,81.

Passo 5

O montante total é a soma das duas partes, e isso é dado como \mathrm{R}\$\,4.200,00. Montando a equação:
4200 = M_1 + M_2 = \frac{C}{2}\cdot 1,69 + \frac{C}{2}\cdot 1,81.
Fatorando \dfrac{C}{2}:
4200 = \frac{C}{2}\bigl(1,69 + 1,81\bigr).
Some os fatores: 1,69 + 1,81 = 3,50. Então
4200 = \frac{C}{2}\cdot 3,50.
Isolando C:
C = \frac{4200\cdot 2}{3,50} = \frac{8400}{3,50}.
Multiplicando numerador e denominador por 10 para simplificar:
C = \frac{84000}{35}.
Como 35\cdot 2400 = 84000, segue que
C = 2400.

Passo 6

Cheque rápido (confere se ficou plausível): metade do capital é \dfrac{C}{2} = \mathrm{R}\$\,1.200,00.
  • Parcela com juros compostos: 1.200\cdot 1,69 = \mathrm{R}\$\,2.028,00.
  • Parcela com juros simples: 1.200\cdot 1,81 = \mathrm{R}\$\,2.172,00.
    Soma: 2.028 + 2.172 = 4.200, bate certinho com o montante dado. Boa!

Resposta

\mathrm{R}\$\,2.400,00

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