Questão 39 (OBMEP). Uma aplicação de \mathrm{R} \ 3.000,00 rendeu\mathrm{R} $2.370,00$ em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operação?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação de \mathrm{R}\$\,3000{,}00 que “rendeu \mathrm{R}\$\,2370{,}00 em 10 meses” e pede a taxa mensal composta de juros dessa operação. Informações relevantes:
\;P=\mathrm{R}\$\,3000{,}00 (capital inicial),
\;\text{juros obtidos}= \mathrm{R}\$\,2370{,}00,
\;n=10 meses.
Como foi dito “rendeu \mathrm{R}\$\,2370{,}00”, o montante final é o capital mais os juros, ou seja
A = P + 2370 = \mathrm{R}\$\,5370{,}00.

Passo 2

Vamos usar a fórmula dos juros compostos. A fórmula relaciona o montante A ao capital P, à taxa mensal i (em forma decimal) e ao número de períodos n:
A = P\,(1+i)^{n}.
Explicando cada símbolo: A é o montante (valor final), P é o capital (valor inicial), i é a taxa por período (aqui por mês) em decimal e n é o número de períodos (aqui meses). Queremos achar i.

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
\mathrm{R}\$\,5370 = \mathrm{R}\$\,3000\,(1+i)^{10}.
Dividindo ambos os lados por \mathrm{R}\$\,3000 para isolar (1+i)^{10}:
(1+i)^{10}=\frac{5370}{3000}=1{,}79.

Passo 4

Para resolver (1+i)^{10}=1{,}79 devemos “tirar a décima raiz” ou usar logaritmos. Aplicando logaritmo natural ( \ln) em ambos os lados:
\ln\big((1+i)^{10}\big)=\ln(1{,}79).
Pela propriedade dos logaritmos, o expoente sai multiplicando:
10\ln(1+i)=\ln(1{,}79).
Isolando \ln(1+i):
\ln(1+i)=\frac{1}{10}\ln(1{,}79).

Passo 5

Agora aplicamos a exponenciação para achar 1+i:
1+i=\exp\!\left(\frac{1}{10}\ln(1{,}79)\right).
Finalmente,
i=\exp\!\left(\frac{1}{10}\ln(1{,}79)\right)-1.
Isto é a forma teórica exata; agora fazemos a aproximação numérica passo a passo.

Passo 6

Calculando numericamente \ln(1{,}79). Usando cálculo aproximado:
\ln(1{,}79)\approx 0{,}58222.
Dividindo por 10:
\frac{1}{10}\ln(1{,}79)\approx 0{,}058222.
Agora exponenciamos:
1+i \approx e^{0{,}058222}\approx 1{,}05995.
Portanto
i \approx 1{,}05995-1=0{,}05995.

Passo 7

Convertendo para porcentagem:
i \approx 0{,}05995 = 5{,}995\% \text{ ao mês}.ê
Para a prova costuma-se arredondar razoavelmente, então podemos escrever i\approx 6{,}0\% ao mês. Vou fazer uma checagem rápida: (1{,}06)^{10}\approx 1{,}79085, que dá montante 3000\times1{,}79085\approx\mathrm{R}\$\,5372{,}55, muito próximo de \mathrm{R}\$\,5370{,}00, confirmando que 6{,}0\% ao mês é um arredondamento correto.

Resposta

i\approx 5{,}995\% ao mês (aprox. 6{,}0\% ao mês)

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