Questão 39 (OBMEP). Uma aplicação de
3.000,00
\mathrm{R} $2.370,00$ em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operação?
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação de
que “rendeu
em 10 meses” e pede a taxa mensal composta de juros dessa operação. Informações relevantes:
(capital inicial),
,
meses.
Como foi dito “rendeu ”, o montante final é o capital mais os juros, ou seja
Como foi dito “rendeu
Passo 2
Vamos usar a fórmula dos juros compostos. A fórmula relaciona o montante
ao capital
, à taxa mensal
(em forma decimal) e ao número de períodos
:
Explicando cada símbolo:
é o montante (valor final),
é o capital (valor inicial),
é a taxa por período (aqui por mês) em decimal e
é o número de períodos (aqui meses). Queremos achar
.
Passo 3
Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Passo 4
Para resolver
devemos “tirar a décima raiz” ou usar logaritmos. Aplicando logaritmo natural (
) em ambos os lados:
Pela propriedade dos logaritmos, o expoente sai multiplicando:
Isolando
:
Passo 5
Agora aplicamos a exponenciação para achar
:
Finalmente,
Isto é a forma teórica exata; agora fazemos a aproximação numérica passo a passo.
Passo 6
Calculando numericamente
. Usando cálculo aproximado:
Dividindo por
:
Agora exponenciamos:
Portanto
Passo 7
Convertendo para porcentagem:
Para a prova costuma-se arredondar razoavelmente, então podemos escrever
ao mês. Vou fazer uma checagem rápida:
, que dá montante
, muito próximo de
, confirmando que
ao mês é um arredondamento correto.