Resolva as EDO’s:
Resp.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente: a função multiplicadora dos diferenciais é
(coeficiente de
) e
(coeficiente de
). A tarefa é encontrar a família de curvas (solução geral) que satisfaz essa igualdade diferencial.
Passo 2
Vamos verificar uma propriedade que facilita muito a resolução: calcular as derivadas parciais
e
. Isso porque, se essas derivadas forem iguais, a equação é do tipo exato e existe uma função potencial
tal que
Calculemos então:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Explico por que isso ajuda: se existe
com
e
, então as soluções da equação diferencial são dadas por curvas de nível de
, isto é,
onde
é constante. A estratégia prática é encontrar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e determinando a função “constante” dependente de
que surgir.
Passo 4
Integramos
em relação a
:
Aqui
é uma “constante de integração” que pode depender de
(porque ao integrar em
tratamos
como constante, então qualquer termo que dependa só de
some na derivada em
).
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Primeiro calculamos
usando a expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita.
Passo 6
Substituindo
(ignorando a constante arbitrária que será a constante final) em
, obtemos
A solução geral é dada pelas curvas de nível de
:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida: diferenciando implicitamente
obtemos
o que coincide com a equação diferencial original. Portanto a solução está correta.