Resolva as EDO’s:
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0\left(\right. Resp. \left.\frac{x^{2}}{2}+x y+y^{2}=C\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
(x+y)\,dx + (x+2y)\,dy = 0.
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente: a função multiplicadora dos diferenciais é M(x,y)=x+y (coeficiente de dx) e N(x,y)=x+2y (coeficiente de dy). A tarefa é encontrar a família de curvas (solução geral) que satisfaz essa igualdade diferencial.

Passo 2

Vamos verificar uma propriedade que facilita muito a resolução: calcular as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Isso porque, se essas derivadas forem iguais, a equação é do tipo exato e existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Calculemos então:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Explico por que isso ajuda: se existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N, então as soluções da equação diferencial são dadas por curvas de nível de \Phi, isto é,
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante. A estratégia prática é encontrar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e determinando a função “constante” dependente de y que surgir.

Passo 4

Integramos M(x,y)=x+y em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (x+y)\,dx=\int x\,dx+\int y\,dx=\frac{x^{2}}{2}+xy + h(y).
Aqui h(y) é uma “constante de integração” que pode depender de y (porque ao integrar em x tratamos y como constante, então qualquer termo que dependa só de y some na derivada em x).

Passo 5

Agora usamos a condição \Phi_{y}=N(x,y) para determinar h(y). Primeiro calculamos \Phi_{y} usando a expressão encontrada:
\Phi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+xy+h(y)\right)=x+h'(y).
Devemos ter \Phi_{y}=N(x,y)=x+2y. Igualando:
x+h'(y)=x+2y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos absorver C_0 na constante final da solução implícita.

Passo 6

Substituindo h(y)=y^{2} (ignorando a constante arbitrária que será a constante final) em \Phi, obtemos
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+xy+y^{2}.
A solução geral é dada pelas curvas de nível de \Phi:
\frac{x^{2}}{2}+xy+y^{2}=C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida: diferenciando implicitamente \Phi(x,y)=C obtemos
d\Phi=\Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy=(x+y)\,dx+(x+2y)\,dy,
o que coincide com a equação diferencial original. Portanto a solução está correta.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+xy+y^{2}=C

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