Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
2 x\left(y e^{x^{2}}-1\right) d x+e^{x^{2}} d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação a seguir é uma equação diferencial exata e, em seguida, resolver essa equação:
2x\bigl(y e^{x^{2}} - 1\bigr)\,dx + e^{x^{2}}\,dy = 0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação diferencial está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Precisamos: (i) verificar se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi = M\,dx + N\,dy (isto é, verificar a exatidão), e (ii) encontrar a solução geral (a família de curvas \Phi(x,y)=constante).
  • Os coeficientes são, explicitamente,
M(x,y) = 2x\bigl(y e^{x^{2}} - 1\bigr) \quad\text{e}\quad N(x,y) = e^{x^{2}}.

Passo 2

Relembrando (de forma curta e prática) o critério de exatidão que vamos usar:
  • Se existe \Phi(x,y) com \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N, então necessariamente
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
num domínio adequado. Esse é o teste rápido: calcular as derivadas parciais e comparar. Se forem iguais, a equação é exata.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais pedidas (faça isso devagarzinho, como na prova):
  • Primeiro, expanda M(x,y) para ver os termos:
M(x,y) = 2x\bigl(y e^{x^{2}} - 1\bigr) = 2x y e^{x^{2}} - 2x.
  • Agora a derivada parcial de M em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x e^{x^{2}}.
(porque derivada de 2x y e^{x^{2}} em relação a y é 2x e^{x^{2}}, e a derivada de -2x em relação a y é 0.)
  • Em seguida, a derivada parcial de N(x,y)=e^{x^{2}} em relação a x: aqui usamos a regra da cadeia. Se u=x^{2}, então \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u'. Logo
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x e^{x^{2}}.
  • Conclusão do teste: \dfrac{\partial M}{\partial y} = 2x e^{x^{2}} = \dfrac{\partial N}{\partial x}. Portanto a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 2x\bigl(y e^{x^{2}} - 1\bigr).
O procedimento padrão para encontrar \Phi é integrar M em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustar com uma função arbitrária de y (pois a “constante” de integração pode depender de y).
Integramos termo a termo:
\int M(x,y)\,dx = \int \bigl(2x y e^{x^{2}} - 2x\bigr)\,dx.
Separe em duas integrais:
\int 2x y e^{x^{2}}\,dx \;-\; \int 2x\,dx.
  • Na primeira integral, y é constante; faça a substituição u = x^{2}, então du = 2x\,dx. Assim
\int 2x y e^{x^{2}}\,dx = y \int e^{u}\,du = y e^{u} = y e^{x^{2}}.
  • Na segunda integral,
\int 2x\,dx = x^{2}.
Portanto, uma primitiva em relação a x é
\Phi(x,y) = y e^{x^{2}} - x^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 5

Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) para determinar h(y).
  • Calcule \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x^{2}} - x^{2} + h(y)\bigr) = e^{x^{2}} + h'(y).
  • Mas sabemos que isso deve ser igual a N(x,y) = e^{x^{2}}. Igualando,
e^{x^{2}} + h'(y) = e^{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad h'(y) = 0.
  • Daí h(y) é constante; seja h(y)=C com C constante real.

Passo 6

Com h(y)=C concluímos que a função potencial \Phi difere apenas por uma constante. A solução geral da equação diferencial exata é dada pelas curvas de nível de \Phi. Na prática, escreveremos a solução implícita em forma de igualdade com uma constante arbitrária.

Resposta

y e^{x^{2}} - x^{2} = C

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