Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação a seguir é uma equação diferencial exata e, em seguida, resolver essa equação:
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação diferencial está na forma
. - Precisamos: (i) verificar se existe uma função potencial
tal que (isto é, verificar a exatidão), e (ii) encontrar a solução geral (a família de curvas constante). - Os coeficientes são, explicitamente,
Passo 2
Relembrando (de forma curta e prática) o critério de exatidão que vamos usar:
- Se existe
com e , então necessariamente
num domínio adequado. Esse é o teste rápido: calcular as derivadas parciais e comparar. Se forem iguais, a equação é exata.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais pedidas (faça isso devagarzinho, como na prova):
- Primeiro, expanda
para ver os termos:
- Agora a derivada parcial de
em relação a (tratando como constante):
(porque derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.)
- Em seguida, a derivada parcial de
em relação a : aqui usamos a regra da cadeia. Se , então . Logo
- Conclusão do teste:
. Portanto a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função
tal que
O procedimento padrão para encontrar
é integrar
em relação a
, tratando
como constante, e depois ajustar com uma função arbitrária de
(pois a “constante” de integração pode depender de
).
Integramos termo a termo:
Separe em duas integrais:
- Na primeira integral,
é constante; faça a substituição , então . Assim
- Na segunda integral,
Portanto, uma primitiva em relação a
é
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 5
Agora usamos a outra condição
para determinar
.
- Calcule
a partir da expressão encontrada:
- Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Igualando,
- Daí
é constante; seja com constante real.
Passo 6
Com
concluímos que a função potencial
difere apenas por uma constante. A solução geral da equação diferencial exata é dada pelas curvas de nível de
. Na prática, escreveremos a solução implícita em forma de igualdade com uma constante arbitrária.