Questão 41 Estenda
a uma base de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
de todas as matrizes
com dimensão
e a família
onde
Precisamos estender
a uma base de
.]
Passo 2
Mostramos que
e
são independentes. Suponha
. Isso dá o sistema de coordenadas
isto é
Da primeira equação
. Da segunda
segue
. Logo, são independentes.
Passo 3
Como
e já temos 2 vetores independentes, falta escolher mais 2 matrizes que completem a base.
Passo 4
O subespaço gerado por
é
ou seja, todas as matrizes
com
. Qualquer matriz fora desse padrão serve para completar.
Passo 5
Escolhemos
Em
a entrada
obriga
, e em
temos
,
, logo
. Ambas não estão no subespaço gerado por
.]
Passo 6
Verificamos que
é independente: numa combinação
os quatro componentes dão
os quatro componentes dão
Só a solução trivial, logo são independentes e formam base.
Resposta
Uma extensão de
a uma base de
é