Questão 41 Estenda \beta=\left\{\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} a uma base de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) de todas as matrizes 2\times2 com dimensão 4 e a família \beta=\{A,B\} onde
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Precisamos estender \beta a uma base de M_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 2

Mostramos que A e B são independentes. Suponha \alpha A+\beta B=0. Isso dá o sistema de coordenadas
\alpha\cdot(0,1,0,1)+\beta\cdot(1,1,0,1)=(0,0,0,0),
isto é
(\beta,\;\alpha+\beta,\;0,\;\alpha+\beta)=(0,0,0,0).
Da primeira equação \beta=0. Da segunda \alpha+\beta=0 segue \alpha=0. Logo, são independentes.

Passo 3

Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4 e já temos 2 vetores independentes, falta escolher mais 2 matrizes que completem a base.

Passo 4

O subespaço gerado por A,B é
\{\alpha A+\beta B : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\} =\{(\,\beta,\;\alpha+\beta,\;0,\;\alpha+\beta)\mid\alpha,\beta\in\mathbb{R}\},
ou seja, todas as matrizes \begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & d\end{pmatrix} com d=b. Qualquer matriz fora desse padrão serve para completar.

Passo 5

Escolhemos
C=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Em C a entrada (2,1)=1 obriga c\neq0, e em D temos b=0, d=1, logo d\neq b. Ambas não estão no subespaço gerado por A,B.]

Passo 6

Verificamos que \{A,B,C,D\} é independente: numa combinação \alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D=0
os quatro componentes dão
\beta=0,\quad \alpha+\beta=0\Rightarrow\alpha=0,\quad \gamma=0,\quad \alpha+\beta+\delta=0\Rightarrow\delta=0.
Só a solução trivial, logo são independentes e formam base.

Resposta

Uma extensão de \beta a uma base de M_{2}(\mathbb{R}) é
\left\{ \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \right\}.

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