Questão 39

A taxonomia de Bloom é um modelo hierárquico utilizado para classificar os objetivos de aprendizagem por níveis de complexidade e especificidade. É uma ferramenta eficaz para ajudar os professores a identificar objetivos de aprendizagem claros, bem como a criar atividades de aprendizagem com propósitos e materiais instrucionais adequados. Na taxonomia de Bloom os objetivos de aprendizagem são divididos nos domínios cognitivo, psicomotor e afetivo. Na matemática, o ensino e avaliação estão intimamente relacionados com objetivos contidos no domínio cognitivo da taxonomia, por isso ela também pode ser usada para propor questões de testes ou tarefas de casa.
Nesse contexto, a questão “Seja f(x) um polinômio de quinto grau. Quantas raízes f(x) pode ter e quais são suas possíveis características? Explique.” pode ser enquadrada, dentro do domínio cognitivo, no nível de
(A) criação.
(B) avaliação.
(C) percepção.
(D) conhecimento.
(E) recepção.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Seja f(x) um polinômio de grau 5. Quantas raízes f(x) pode ter e quais são suas possíveis características? Explique.”\n
Informações dadas:
  • Temos um polinólmio de grau 5 (ou seja, o maior expoente de x em f(x) é 5).\n
    O que é pedido:
  • Determinar quantas raízes (no conjunto dos números reais e considerando também raízes complexas) um polinômio de grau 5 pode ter.
  • Descrever as possíveis características dessas raízes (por exemplo, reais/complexas, simples/repetidas, pares conjugados, etc.).
  • Explicar por que essas possibilidades ocorrem.

Passo 2

Definições básicas (para eu e você ficarmos na mesma página):\n
  • Raiz (ou zero) de um polinômio: um número r tal que f(r)=0.\n
  • Multiplicidade de uma raiz r: o número m tal que (x-r)^m divide f(x) mas (x-r)^{m+1} não divide. Se m=1, chamamos de raiz simples; se m>1, raiz repetida ou múltipla.\n
  • Grau de um polinômio: o maior expoente de x que aparece com coeficiente não nulo; aqui é 5, ou seja, f(x) é do tipo a_5x^5+\cdots+a_0 com a_5\neq0.

Passo 3

Teorema fundamental necessário: o Teorema Fundamental da Álgebra (explicado de forma direta)\n
  • O Teorema Fundamental da Álgebra diz que um polinômio não constante de grau n (com coeficientes complexos) tem exatamente n raízes no conjunto dos números complexos, contando multiplicidades. Isso significa que um polinômio de grau 5 tem exatamente 5 raízes complexas se contarmos cada raiz de acordo com sua multiplicidade.\n
    Explicação didática: isso não quer dizer que haverá necessariamente 5 raízes distintas — algumas podem repetir — mas a soma das multiplicidades será 5.

Passo 4

Consequência para polinômios com coeficientes reais: pares complexos conjugados\n
  • Se os coeficientes de f(x) são reais (o que é o caso usual em exercícios de cálculo/álgebra), então as raízes complexas fora do conjunto real vêm em pares conjugados. Ou seja, se a+bi (com b\neq0) é raiz, então a-bi também é raiz.\n
    Por que isso importa aqui: cada par conjugado conta como duas raízes complexas. Como o grau total é 5 (ímpar), não é possível que todas as raízes sejam complexas não reais em pares — sempre sobra pelo menos uma raiz real.

Passo 5

Conclusão sobre quantidade mínima e máxima de raízes reais\n
  • Máximo de raízes reais distintas: não pode exceder o grau, então no máximo são 5 raízes reais distintas.\n
  • Mínimo de raízes reais: como o grau é ímpar ( 5), polinômios reais de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real (porque o valor de f(x) tende a sinais opostos quando x\to+\infty e x\to-\infty se a_5\neq0). Portanto, o mínimo é 1 raiz real.\n
  • Considerando que complexas não reais aparecem em pares, os possíveis números de raízes reais (contando só as distintas ou contando multiplicidades?) — aqui faz sentido listar os possíveis números de raízes reais distintas: 1, 3 ou 5. Esses são os únicos números ímpares entre 1 e 5.

Passo 6

Sobre multiplicidades e combinação com o item anterior\n
  • Mesmo que tenhamos, por exemplo, “uma” raiz real em sentido distinto, ela pode ter multiplicidade maior que 1. Exemplos de distribuição de multiplicidades que somam 5:\n
    • Uma raiz real de multiplicidade 5.\n
    • Uma raiz real de multiplicidade 3 e mais duas raízes complexas (um par conjugado) — somando 3+2=5.\n
    • Duas raízes reais (por exemplo multiplicidades 2 e 3) — isso soma 2+3=5 e aí seriam duas valores reais distintos; porém note que o número de raízes reais “distintas” nesse caso é 2, que é par: isso é possível em termos de multiplicidade, mas se estivermos só contando raízes reais distintas sem olhar para multiplicidade, as contagens possíveis para polinômio real de grau 5 em termos de raízes reais distintas permanecem 1,3,5. (Importante: a restrição de “ímpares” vale quando não consideramos multiplicidades repetidas como contagens separadas de valor distinto.)

Passo 7

Exemplos concretos (para treinar e entender):\n
  • Exemplo com 5 raízes reais distintas: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Aqui as raízes reais são 1,2,3,4,5 (todas simples).\n
  • Exemplo com 3 raízes reais distintas e um par complexo conjugado: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\bigl(x^2+1\bigr). Aqui as raízes reais distintas são 1,2,3; as raízes complexas são i e -i (um par conjugado).\n
  • Exemplo com 1 raiz real (distinta) e duas pares conjugados complexos: f(x)=(x-1)\bigl(x^2+1\bigr)\bigl(x^2+4\bigr). A raiz real distinta é 1; as outras quatro raízes são i,-i,2i,-2i.\n
  • Exemplo com raiz múltipla: f(x)=(x-1)^5. Há apenas uma raiz real distinta 1, com multiplicidade 5.

Passo 8

Resumo das “possíveis características” das raízes (bem claro e direto):\n
  • Total de raízes complexas (contando multiplicidade): exatamente 5, por causa do Teorema Fundamental da Álgebra.\n
  • Número de raízes reais distintas: pode ser 1, 3 ou 5.\n
  • Complexas não reais aparecem em pares conjugados quando os coeficientes são reais.\n
  • As raízes podem ser simples ( m=1) ou múltiplas ( m>1), e a soma das multiplicidades de todas as raízes (reais e complexas) é 5.\n
  • Exemplos construídos mostram cada caso possível e como a multiplicidade altera a contagem de raízes “distintas” versus a soma total das multiplicidades.

Passo 9

Agora respondo qual nível da taxonomia de Bloom corresponde à pergunta do enunciado e por quê (justificativa didática):\n
  • A questão pede para dizer quantas raízes um polinômio de grau 5 pode ter e quais características elas podem ter, com explicação. Isso exige lembrar fatos importantes (o Teorema Fundamental da Álgebra, fatos sobre grau ímpar implicando ao menos uma raiz real, e o fato de que raízes complexas vêm em pares conjugados quando os coeficientes são reais) e aplicá-los de forma direta para listar possibilidades e dar exemplos simples.\n
  • Não se está pedindo para criar algo novo ou avaliar criticamente argumentos complexos; também não se exige um julgamento de qualidade ou uma comparação elaborada de alternativas. Tampouco é apenas perceber/receber informação sem explicação.\n
  • Portanto a tarefa se encaixa no nível de “conhecimento” (recordar e reproduzir fatos e aplicar fórmulas/teoremas básicos para responder). Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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