Questão 39
A taxonomia de Bloom é um modelo hierárquico utilizado para classificar os objetivos de aprendizagem por níveis de complexidade e especificidade. É uma ferramenta eficaz para ajudar os professores a identificar objetivos de aprendizagem claros, bem como a criar atividades de aprendizagem com propósitos e materiais instrucionais adequados. Na taxonomia de Bloom os objetivos de aprendizagem são divididos nos domínios cognitivo, psicomotor e afetivo. Na matemática, o ensino e avaliação estão intimamente relacionados com objetivos contidos no domínio cognitivo da taxonomia, por isso ela também pode ser usada para propor questões de testes ou tarefas de casa.
Nesse contexto, a questão “Seja
um polinômio de quinto grau. Quantas raízes
pode ter e quais são suas possíveis características? Explique.” pode ser enquadrada, dentro do domínio cognitivo, no nível de
(A) criação.
(B) avaliação.
(C) percepção.
(D) conhecimento.
(E) recepção.
(A) criação.
(B) avaliação.
(C) percepção.
(D) conhecimento.
(E) recepção.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Seja
um polinômio de grau
. Quantas raízes
pode ter e quais são suas possíveis características? Explique.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos um polinólmio de grau
(ou seja, o maior expoente de em é ).\n
O que é pedido: - Determinar quantas raízes (no conjunto dos números reais e considerando também raízes complexas) um polinômio de grau
pode ter. - Descrever as possíveis características dessas raízes (por exemplo, reais/complexas, simples/repetidas, pares conjugados, etc.).
- Explicar por que essas possibilidades ocorrem.
Passo 2
Definições básicas (para eu e você ficarmos na mesma página):\n
- Raiz (ou zero) de um polinômio: um número
tal que .\n - Multiplicidade de uma raiz
: o número tal que divide mas não divide. Se , chamamos de raiz simples; se , raiz repetida ou múltipla.\n - Grau de um polinômio: o maior expoente de
que aparece com coeficiente não nulo; aqui é , ou seja, é do tipo com .
Passo 3
Teorema fundamental necessário: o Teorema Fundamental da Álgebra (explicado de forma direta)\n
- O Teorema Fundamental da Álgebra diz que um polinômio não constante de grau
(com coeficientes complexos) tem exatamente raízes no conjunto dos números complexos, contando multiplicidades. Isso significa que um polinômio de grau tem exatamente raízes complexas se contarmos cada raiz de acordo com sua multiplicidade.\n
Explicação didática: isso não quer dizer que haverá necessariamenteraízes distintas — algumas podem repetir — mas a soma das multiplicidades será .
Passo 4
Consequência para polinômios com coeficientes reais: pares complexos conjugados\n
- Se os coeficientes de
são reais (o que é o caso usual em exercícios de cálculo/álgebra), então as raízes complexas fora do conjunto real vêm em pares conjugados. Ou seja, se (com ) é raiz, então também é raiz.\n
Por que isso importa aqui: cada par conjugado conta como duas raízes complexas. Como o grau total é(ímpar), não é possível que todas as raízes sejam complexas não reais em pares — sempre sobra pelo menos uma raiz real.
Passo 5
Conclusão sobre quantidade mínima e máxima de raízes reais\n
- Máximo de raízes reais distintas: não pode exceder o grau, então no máximo são
raízes reais distintas.\n - Mínimo de raízes reais: como o grau é ímpar (
), polinômios reais de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real (porque o valor de tende a sinais opostos quando e se ). Portanto, o mínimo é raiz real.\n - Considerando que complexas não reais aparecem em pares, os possíveis números de raízes reais (contando só as distintas ou contando multiplicidades?) — aqui faz sentido listar os possíveis números de raízes reais distintas:
, ou . Esses são os únicos números ímpares entre e .
Passo 6
Sobre multiplicidades e combinação com o item anterior\n
- Mesmo que tenhamos, por exemplo, “uma” raiz real em sentido distinto, ela pode ter multiplicidade maior que
. Exemplos de distribuição de multiplicidades que somam :\n - Uma raiz real de multiplicidade
.\n - Uma raiz real de multiplicidade
e mais duas raízes complexas (um par conjugado) — somando .\n - Duas raízes reais (por exemplo multiplicidades
e ) — isso soma e aí seriam duas valores reais distintos; porém note que o número de raízes reais “distintas” nesse caso é , que é par: isso é possível em termos de multiplicidade, mas se estivermos só contando raízes reais distintas sem olhar para multiplicidade, as contagens possíveis para polinômio real de grau em termos de raízes reais distintas permanecem . (Importante: a restrição de “ímpares” vale quando não consideramos multiplicidades repetidas como contagens separadas de valor distinto.)
- Uma raiz real de multiplicidade
Passo 7
Exemplos concretos (para treinar e entender):\n
- Exemplo com
raízes reais distintas: . Aqui as raízes reais são (todas simples).\n - Exemplo com
raízes reais distintas e um par complexo conjugado: . Aqui as raízes reais distintas são ; as raízes complexas são e (um par conjugado).\n - Exemplo com
raiz real (distinta) e duas pares conjugados complexos: . A raiz real distinta é ; as outras quatro raízes são .\n - Exemplo com raiz múltipla:
. Há apenas uma raiz real distinta , com multiplicidade .
Passo 8
Resumo das “possíveis características” das raízes (bem claro e direto):\n
- Total de raízes complexas (contando multiplicidade): exatamente
, por causa do Teorema Fundamental da Álgebra.\n - Número de raízes reais distintas: pode ser
, ou .\n - Complexas não reais aparecem em pares conjugados quando os coeficientes são reais.\n
- As raízes podem ser simples (
) ou múltiplas ( ), e a soma das multiplicidades de todas as raízes (reais e complexas) é .\n - Exemplos construídos mostram cada caso possível e como a multiplicidade altera a contagem de raízes “distintas” versus a soma total das multiplicidades.
Passo 9
Agora respondo qual nível da taxonomia de Bloom corresponde à pergunta do enunciado e por quê (justificativa didática):\n
- A questão pede para dizer quantas raízes um polinômio de grau
pode ter e quais características elas podem ter, com explicação. Isso exige lembrar fatos importantes (o Teorema Fundamental da Álgebra, fatos sobre grau ímpar implicando ao menos uma raiz real, e o fato de que raízes complexas vêm em pares conjugados quando os coeficientes são reais) e aplicá-los de forma direta para listar possibilidades e dar exemplos simples.\n - Não se está pedindo para criar algo novo ou avaliar criticamente argumentos complexos; também não se exige um julgamento de qualidade ou uma comparação elaborada de alternativas. Tampouco é apenas perceber/receber informação sem explicação.\n
- Portanto a tarefa se encaixa no nível de “conhecimento” (recordar e reproduzir fatos e aplicar fórmulas/teoremas básicos para responder). Isso corresponde à alternativa
.
Resposta
(D)