Questão 37
Ao longo da história, diversos matemáticos, como Euler, Dedekind, Hankel, Bernoulli e Cauchy, contribuíram para o conceito moderno de função algébrica que se conhece hoje na matemática. Assinale a opção que apresenta a noção moderna da definição de função unívoca.
(4) Uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta, de alguma maneira, dessa quantidade e de números ou quantidades constantes.
(B) Diz-se que
é uma função de
se cada valor de
, em certo intervalo, corresponde a pelo menos um valor bem definido de
, sem que isso exija que
seja definido em todo o intervalo pela mesma lei em função de
, nem mesmo que
seja definido por uma expressão matemática explícita de
.
(D) Uma
será uma função se admitir um valor único e finito para todos os valores de
compreendidos entre dois limites dados, e a diferença
é sempre entre esses limites uma quantidade indefinidamente pequena.
(E) Se
e
forem dois conjuntos, não vazios, distintos ou não, uma relação entre uma variável
e uma variável
chama-se relação funcional em
, ou relação funcional de
em
, se, qualquer que seja
, existe um elemento
, e somente um, que esteja na relação considerada
.
© Uma função
é uma regra que associa dois conjuntos
e
de modo que cada elemento
é associado a um ou mais elementos
.
(4) Uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta, de alguma maneira, dessa quantidade e de números ou quantidades constantes.
(B) Diz-se que
(D) Uma
(E) Se
© Uma função
Passo 1
O enunciado pede: assinalar a opção que apresenta a noção moderna da definição de função unívoca. As opções dadas são (vou reproduzir o sentido de cada uma, mantendo os elementos essenciais em forma curta):
- (4) Uma função é uma expressão analítica envolvendo a variável e constantes.
- (B) Diz-se que
é função de se cada valor de , em certo intervalo, corresponde a pelo menos um valor bem definido de , sem exigir mesma lei para todo o intervalo. - (D) Diz que
é função se admitir valor único e finito para todos entre dois limites e que seja sempre indefinidamente pequena entre esses limites. - (E) Sejam
e conjuntos; a relação é funcional de em se, qualquer que seja , existe um elemento , e somente um, que esteja na relação com . - (©) Uma função
é uma regra que associa dois conjuntos e de modo que cada elemento é associado a um ou mais elementos .
Informações relevantes do enunciado: escolha a noção moderna de “função unívoca” (ou seja, função que associa um único valor de saída a cada entrada) entre as opções acima.
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa, de forma moderna e precisa, “função unívoca”. Em linguagem matemática formal:
Expliquei isso em palavras: existem dois requisitos essenciais — existência e unicidade — para cada
do domínio
:
- Existência: para todo
existe pelo menos um tal que . - Unicidade: para todo
esse é único (não pode haver dois valores distintos associados ao mesmo ).
Passo 3
Vou dar um exemplo concreto para você fixar — é bem útil para a prova:
- Exemplo de função (unívoca):
definida por . Para cada existe um único valor (por exemplo, se , ; se , — nota: valores de imagens podem coincidir para entradas distintas, e isso é permitido). - Exemplo que não é função no sentido unívoco: a relação que associa a cada
os números tais que . Para essa relação associa e — são dois valores; por isso não satisfaz a unicidade e não é função unívoca, a menos que imponhamos uma convenção (por exemplo, tomar só a raiz principal) que restaure unicidade.
Passo 4
Agora vamos comparar essa definição formal com cada alternativa, verificando existência e unicidade explicitamente.
Analisando (E):
- A opção (E) diz: para quaisquer conjuntos
e , existe um elemento , e somente um, relacionado a cada . - Isso diz exatamente “existência e unicidade” para cada
. Match perfeito com a definição moderna. Então (E) satisfaz os dois requisitos que eu acabei de enunciar.
Passo 5
Analisando as demais opções para mostrar por que não são corretas:
Opção (©):
- Diz que cada
é associado a “um ou mais” elementos de . - Isso permite múltiplas imagens por mesma entrada; portanto não garante unicidade — contradiz a condição “somente um”. Logo (©) está errada para “função unívoca”.
Opção (B):
- Afirma que cada
corresponde a “pelo menos um” valor de . “Pelo menos um” equivale a existência, mas não garante unicidade (poderiam existir dois ou mais). Além disso, a opção destaca que não é preciso haver uma mesma lei em todo o intervalo — isso descreve relações ou funções definidas por partes, mas não impõe unicidade. Portanto (B) também não descreve a noção unívoca moderna.
Opção (4):
- Fala de “expressão analítica composta” da variável. Isso é uma definição restrita: exige representação por expressão analítica (uma fórmula), o que exclui funções definidas por pedaços, definidas implicitamente, ou funções definidas por regras não analíticas. A noção moderna é mais geral (funções podem ser definidas entre conjuntos quaisquer, por regras, por correspondências, por definição por partes, etc.). Logo (4) é demasiado restritiva e não corresponde à definição moderna geral.
Opção (D):
- Mistura condições de valor finito, existência única para todos
entre dois limites e ainda uma condição do tipo “diferença é sempre indefinidamente pequena” (que lembra continuidade/diferenciabilidade no sentido histórico). Isso mistura propriedades analíticas (continuidade) com a definição de função e ainda é ambíguo (o termo “indefinidamente pequena” não é a forma moderna precisa). A definição moderna não exige essa condição extra; apenas existência e unicidade. Portanto (D) está incorreta.
Passo 6
Resumo didático e mental para prova (decora: existência + unicidade):
- Para testar rapidamente numa prova: leia a opção e pergunte mentalmente para cada
do domínio — “existe um ?” e “é só um ?” Se a opção responde sim para todos os , é uma definição correta de função unívoca moderna. - No nosso caso, a opção (E) responde afirmativamente aos dois quesitos (existe e somente um), por isso é a correta.
Passo 7
Motivo final e incentivo: escolha (E) porque ela contém o enunciado formal moderno de função como uma relação que associa a cada elemento do domínio exatamente um elemento do contradomínio. Você fez bem em pedir passo a passo — essa diferença entre “pelo menos um” e “exatamente um” é onde a maioria tropeça. Força aí que você consegue!
Resposta
(E)