Questão 37

Ao longo da história, diversos matemáticos, como Euler, Dedekind, Hankel, Bernoulli e Cauchy, contribuíram para o conceito moderno de função algébrica que se conhece hoje na matemática. Assinale a opção que apresenta a noção moderna da definição de função unívoca.
(4) Uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta, de alguma maneira, dessa quantidade e de números ou quantidades constantes.
(B) Diz-se que y é uma função de x se cada valor de x, em certo intervalo, corresponde a pelo menos um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja definido por uma expressão matemática explícita de x.
(D) Uma f(x) será uma função se admitir um valor único e finito para todos os valores de x compreendidos entre dois limites dados, e a diferença f(x+i)-f(x) é sempre entre esses limites uma quantidade indefinidamente pequena.
(E) Se E e F forem dois conjuntos, não vazios, distintos ou não, uma relação entre uma variável x \in E e uma variável y \in F chama-se relação funcional em y, ou relação funcional de E em F, se, qualquer que seja x \in E, existe um elemento y \in F, e somente um, que esteja na relação considerada \operatorname{com} x.
© Uma função f é uma regra que associa dois conjuntos A e B de modo que cada elemento x \in A é associado a um ou mais elementos y \in B.

Passo 1

O enunciado pede: assinalar a opção que apresenta a noção moderna da definição de função unívoca. As opções dadas são (vou reproduzir o sentido de cada uma, mantendo os elementos essenciais em forma curta):
  • (4) Uma função é uma expressão analítica envolvendo a variável e constantes.
  • (B) Diz-se que y é função de x se cada valor de x, em certo intervalo, corresponde a pelo menos um valor bem definido de y, sem exigir mesma lei para todo o intervalo.
  • (D) Diz que f(x) é função se admitir valor único e finito para todos x entre dois limites e que f(x+i)-f(x) seja sempre indefinidamente pequena entre esses limites.
  • (E) Sejam E e F conjuntos; a relação é funcional de E em F se, qualquer que seja x\in E, existe um elemento y\in F, e somente um, que esteja na relação com x.
  • (©) Uma função f é uma regra que associa dois conjuntos A e B de modo que cada elemento x\in A é associado a um ou mais elementos y\in B.
Informações relevantes do enunciado: escolha a noção moderna de “função unívoca” (ou seja, função que associa um único valor de saída a cada entrada) entre as opções acima.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa, de forma moderna e precisa, “função unívoca”. Em linguagem matemática formal:
\text{Uma função } f:E\to F \text{ é uma relação tal que a cada } x\in E \text{ corresponde } \textbf{exatamente um} \\ y\in F.çãéçã
Expliquei isso em palavras: existem dois requisitos essenciais — existência e unicidade — para cada x do domínio E:
  • Existência: para todo x\in E existe pelo menos um y\in F tal que y=f(x).
  • Unicidade: para todo x\in E esse y é único (não pode haver dois valores distintos y_1\neq y_2 associados ao mesmo x).

Passo 3

Vou dar um exemplo concreto para você fixar — é bem útil para a prova:
  • Exemplo de função (unívoca): f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^2. Para cada x\in\mathbb{R} existe um único valor f(x) (por exemplo, se x=2, f(2)=4; se x=-2, f(-2)=4 — nota: valores de imagens podem coincidir para entradas distintas, e isso é permitido).
  • Exemplo que não é função no sentido unívoco: a relação que associa a cada x\ge 0 os números y tais que y^2=x. Para x=4 essa relação associa y=2 e y=-2 — são dois valores; por isso não satisfaz a unicidade e não é função unívoca, a menos que imponhamos uma convenção (por exemplo, tomar só a raiz principal) que restaure unicidade.

Passo 4

Agora vamos comparar essa definição formal com cada alternativa, verificando existência e unicidade explicitamente.
Analisando (E):
  • A opção (E) diz: para quaisquer conjuntos E e F, existe um elemento y\in F, e somente um, relacionado a cada x\in E.
  • Isso diz exatamente “existência e unicidade” para cada x\in E. Match perfeito com a definição moderna. Então (E) satisfaz os dois requisitos que eu acabei de enunciar.

Passo 5

Analisando as demais opções para mostrar por que não são corretas:
Opção (©):
  • Diz que cada x\in A é associado a “um ou mais” elementos de B.
  • Isso permite múltiplas imagens por mesma entrada; portanto não garante unicidade — contradiz a condição “somente um”. Logo (©) está errada para “função unívoca”.
Opção (B):
  • Afirma que cada x corresponde a “pelo menos um” valor de y. “Pelo menos um” equivale a existência, mas não garante unicidade (poderiam existir dois ou mais). Além disso, a opção destaca que não é preciso haver uma mesma lei em todo o intervalo — isso descreve relações ou funções definidas por partes, mas não impõe unicidade. Portanto (B) também não descreve a noção unívoca moderna.
Opção (4):
  • Fala de “expressão analítica composta” da variável. Isso é uma definição restrita: exige representação por expressão analítica (uma fórmula), o que exclui funções definidas por pedaços, definidas implicitamente, ou funções definidas por regras não analíticas. A noção moderna é mais geral (funções podem ser definidas entre conjuntos quaisquer, por regras, por correspondências, por definição por partes, etc.). Logo (4) é demasiado restritiva e não corresponde à definição moderna geral.
Opção (D):
  • Mistura condições de valor finito, existência única para todos x entre dois limites e ainda uma condição do tipo “diferença f(x+i)-f(x) é sempre indefinidamente pequena” (que lembra continuidade/diferenciabilidade no sentido histórico). Isso mistura propriedades analíticas (continuidade) com a definição de função e ainda é ambíguo (o termo “indefinidamente pequena” não é a forma moderna precisa). A definição moderna não exige essa condição extra; apenas existência e unicidade. Portanto (D) está incorreta.

Passo 6

Resumo didático e mental para prova (decora: existência + unicidade):
  • Para testar rapidamente numa prova: leia a opção e pergunte mentalmente para cada x do domínio — “existe um y?” e “é só um y?” Se a opção responde sim para todos os x, é uma definição correta de função unívoca moderna.
  • No nosso caso, a opção (E) responde afirmativamente aos dois quesitos (existe e somente um), por isso é a correta.

Passo 7

Motivo final e incentivo: escolha (E) porque ela contém o enunciado formal moderno de função como uma relação que associa a cada elemento do domínio exatamente um elemento do contradomínio. Você fez bem em pedir passo a passo — essa diferença entre “pelo menos um” e “exatamente um” é onde a maioria tropeça. Força aí que você consegue!

Resposta

(E)

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