Questão 4. (6pts) Usando a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, ache
e
como função de
e
da função
Passo 1
O enunciado dá as funções e pede as derivadas parciais de
em relação a
e a
, escritas como funções de
e
. As informações fornecidas são:
-
. -
. -
.
O que é pedido:
- Achar
expressa somente em termos de e . - Achar
expressa somente em termos de e .
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se
com
e
, então
Explicando:
é a derivada parcial de
tratanto
como constante;
é a derivada parcial de
em relação a
, etc. A fórmula soma as contribuições via as variações de
e de
.
Passo 3
Calcular
e
para
.
Primeiro
: aqui
é produto de
por
, então uso a regra do produto e, dentro de
, a regra da cadeia.
Portanto
Agora
: trate
como constante e use a regra da cadeia sobre
.
Logo
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Para
:
Para
use a regra da cadeia para o logaritmo. Uma forma útil é decompor
(assumindo domínio onde os log são definidos), mas podemos fazer direto pela cadeia:
logo
Agora
:
logo
Resumindo as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
:
Substituindo
,
,
e
,
Passo 6
Finalmente, substituir
e
pelas expressões em
e
para obter
somente em termos de
e
. Lembrando que
Portanto
Essa é a expressão de
como função de
e
.
Passo 7
Agora fazemos
usando a mesma ideia:
Substituindo as derivadas já calculadas:
Passo 8
Substituir
e
em
para obter a forma final em
e
: