Questão 4. [4,0 Pontos] Um satélite move-se em uma órbita círcular ao redor da Terra com velocidade orbital de 7280 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altitude desse satélite, medida a partir da superfície terrestre.

Passo 1

Enunciado: Um satélite move-se em órbita circular ao redor da Terra com velocidade orbital v=7280\\ \mathrm{m/s}. Pergunta: determinar a altitude do satélite medida a partir da superfície terrestre.
Dados fornecidos e constantes que vamos usar:
v=7280\\ \mathrm{m/s}.
Usarei o parâmetro gravitacional padrão da Terra \mu=GM, com valor
\mu = 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^3/s^2},
e o raio médio da Terra
R_{\text{terra}} = 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
(Se você não lembra de \mu, é a constante G multiplicada pela massa da Terra M; usar \mu evita trabalhar com dois números grandes separadamente.)

Passo 2

Princípio físico usado — equilíbrio de forças para órbita circular.
Explicação didática: para um satélite em órbita circular, a força centrípeta que mantém a trajetória curva é fornecida pela força gravitacional. Em forma de equação:
\frac{m v^{2}}{r} = \frac{G M m}{r^{2}},
onde
  • m é a massa do satélite (que vai cancelar),
  • v é a velocidade orbital,
  • r é a distância do centro da Terra até o satélite,
  • G é a constante gravitacional e
  • M é a massa da Terra.
Ao simplificar (cancelando m e multiplicando por r) obtemos a fórmula prática:
v^{2}=\frac{G M}{r} = \frac{\mu}{r}.
Essa é a fórmula padrão da velocidade orbital circular: ela relaciona a velocidade com a distância ao centro do corpo central.

Passo 3

Isolar r na equação para obter a distância ao centro da Terra:
r = \frac{\mu}{v^{2}}.
Aqui \mu tem unidades \mathrm{m^{3}/s^{2}} e v^{2} tem unidades \mathrm{m^{2}/s^{2}}, então r fica em metros — conferindo unidades coerentes.

Passo 4

Calcular v^{2} numericamente:
v^{2} = 7280^{2} = 52\,998\,400\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Substituir na fórmula de r:
r = \frac{3{,}986004418\times10^{14}}{52\,998\,400}.
Faço a divisão (mostrando passo numérico aproximado):
r \approx 7{,}521\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
(Detalhe do cálculo: o quociente exato dá aproximadamente 7{,}520\,990\\ \mathrm{m}, arredondei para três algarismos significativos no resultado final do raio.)

Passo 5

Calcular a altitude h medida a partir da superfície terrestre:
h = r - R_{\text{terra}}.
Substituindo os valores:
h \approx 7{,}521\times10^{6}\\ \mathrm{m} - 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 1{,}150\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Converter para quilômetros (mais fácil de interpretar):
h \approx 1{,}150\\ \mathrm{km}.
Comentário rápido e motivador: esse valor está na faixa típica de órbitas baixas (LEO), então faz sentido físico — o satélite estaria a cerca de mil e poucas quilômetros da superfície.

Resposta

h \approx 1{,}15\times10^{6}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}150\\ \mathrm{km}

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