Questão 4: O ar entra em um bocal em regime permanente com \rho_{1}=2,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e V_{1}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e sai com \rho_{2}= 0,762 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e V_{2}=150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a área de entrada do bocal é 60 \mathrm{~cm}^{2}, determine: (a) a vazão mássica através do bocal; (b) a área de saída do bocal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta duas coisas. Informações fornecidas:
\rho_{1}=2,21\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad V_{1}=20\\ \mathrm{m/s},
\rho_{2}=0,762\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad V_{2}=150\\ \mathrm{m/s},
a área de entrada do bocal é A_{1}=60\\ \mathrm{cm^{2}}. Perguntas do enunciado:
(a) determinar a vazão mássica através do bocal; (b) determinar a área de saída do bocal.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicadinho): em regime permanente, a massa que entra por segundo é igual à massa que sai por segundo — massa é conservada. A expressão matemática disso é a vazão mássica \dot m, dada por
\dot m=\rho V A.
Aqui \dot m é a vazão mássica (kg/s), \rho é a densidade (kg/m³), V é a velocidade média (m/s) e A é a área da seção (m²). Como a massa se conserva,
\dot m=\rho_{1}V_{1}A_{1}=\rho_{2}V_{2}A_{2}.
Usaremos essa igualdade para calcular (a) \dot m e (b) A_{2}.

Passo 3

Converter a área de entrada para o SI (m²). Sabendo que 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
A_{1}=60\\ \mathrm{cm^{2}}=60\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}=6,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a vazão mássica \dot m usando \dot m=\rho_{1}V_{1}A_{1}. Faço em etapas:
\rho_{1}V_{1}=2,21\times20=44,2\\ (\mathrm{kg/(m^{2}\,s)}).
Multiplicando por A_{1}:
\dot m=44,2\times6,0\times10^{-3}=0,2652\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: passam pelo bocal 0,2652\\ \mathrm{kg} de ar por segundo. Força um pouco de memória de cálculo, mas é só multiplicar em duas etapas como mostrei.

Passo 5

Agora achamos a área de saída A_{2} usando a igualdade da vazão mássica:
A_{2}=\frac{\dot m}{\rho_{2}V_{2}}.
Substituindo \dot m encontrado e \rho_{2},V_{2}:
\rho_{2}V_{2}=0,762\times150=114,3\\ (\mathrm{kg/(m^{2}\,s)}).

Passo 6

Calcular numericamente A_{2}:
A_{2}=\frac{0,2652}{114,3}=2,32\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Se quisermos maior precisão, A_{2}\approx0,0023187\\ \mathrm{m^{2}}, mas 2,32\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} tem 3 algarismos significativos coerentes com os dados.)

Passo 7

Converter A_{2} para \mathrm{cm^{2}} para ficar em unidades familiares: como 1\\ \mathrm{m^{2}}=10^{4}\\ \mathrm{cm^{2}},
A_{2}=2,32\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}=2,32\times10^{-3}\times10^{4}\\ \mathrm{cm^{2}}=23,2\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 8

Pequeno cheque de consistência (mental): a densidade caiu e a velocidade aumentou muito; para conservar massa, a área deve diminuir — de 60\\ \mathrm{cm^{2}} para cerca de 23,2\\ \mathrm{cm^{2}}. Faz sentido físico.

Resposta

\dot m=0,2652\\ \mathrm{kg/s}
A_{2}=2,32\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}=23,2\\ \mathrm{cm^{2}}

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