^a Questão. (40 pontos) Resolva o pvi 8 y^prime prime-2 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=alpha.
Boa prova!

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8,y'' - 2,y = 0,
sujeita a
y(0)=2, y'(0)=alpha
O que vamos precisar é o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes via as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea, trocando y por e^rx:
8,r^2 - 2 = 0
Resolvendo para r temos
r^2 = 28 = 14 Longrightarrow r = pm 12

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas ( r1 = tfrac12, r2 = -tfrac12), a solução geral da equação é
y(x) = C1,e^tfracx2 + C2,e^-tfracx2
Derivando, obtemos
y'(x) = C12,e^tfracx2 - C22,e^-tfracx2

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=C1 + C2 = 2,
y'(0)=C1 - C22 = alpha Longrightarrow C1 - C2 = 2,alpha
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, C1 - C2 = 2alpha,
vem
C1 = 1 + alpha, C2 = 1 - alpha

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, concluímos que
y(x) = (1+alpha),e^tfracx2 + (1-alpha),e^-tfracx2

Resposta

y(x) = (1+alpha),e^tfracx2 + (1-alpha),e^-tfracx2

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