Determine as abscissas dos pontos do gráfico de y=3 x-cos (2 x), nos quais as retas tangentes são perpendiculares a reta r: 2 x+4 y=5.

Passo 1

O enunciado quer as abscissas dos pontos no gráfico de y=3x-cos(2x) cujas retas tangentes são perpendiculares à reta r:2x+4y=5. O que precisamos usar é a derivada para achar o coeficiente angular da tangente e a condição de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Derivamos y=3x-cos(2x). A derivada de 3x é 3 e a de -cos(2x)
2sin(2x),
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f'(x)=3+2sin(2x)

Passo 3

Colocamos r em forma y=mx+b. De 2x+4y=5 vem
4y=5-2x Longrightarrow y=-tfrac12,x+tfrac54,
então o coeficiente angular de r é mr=-tfrac12.

Passo 4

Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é -1. Então impomos
l(3+2sin(2x)r)l(-tfrac12r)=-1
que simplifica para
3+2sin(2x)=2 Longrightarrow sin(2x)=-tfrac12

Passo 5

A equação sin(2x)=-tfrac12 tem as soluções gerais
2x=-tfracpi6+2kpi ou 2x=tfrac7pi6+2kpi,
com kinZ. Dividindo tudo por 2, obtemos
x=-tfracpi12+kpi e x=tfrac7pi12+kpi

Resposta

As abscissas são
x=-tfracpi12+kpi e x=tfrac7pi12+kpi,
para qualquer kinZ.

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