Seja f(x)=1e^x^2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y=f(x) no ponto cuja abscissa é x=1.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=1e^x^2=e^-x^2 e pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa x=1. Vamos precisar de (i) coordenadas do ponto (1,f(1)), (ii) derivada f'(x), (iii) coeficiente angular da tangente mt=f'(1) e (iv) coeficiente angular da normal mn=-1/mt.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência:
y1=f(1)=e^-1,
logo o ponto é (1,e^-1).

Passo 3

Derivar f(x)=e^-x^2. Pela regra da cadeia,
f'(x)=(-2x),e^-x^2

Passo 4

Avaliar a derivada em x=1:
mt=f'(1)=(-2cdot1)e^-1=-2e^-1
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - e^-1 = -2e^-1,(x - 1)

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é
mn=-1mt=-1-2e^-1=e2
Logo a reta normal fica
y - e^-1 = e2,(x - 1)

Resposta

Reta tangente:
y - e^-1 = -2e^-1,(x - 1)
Reta normal:
y - e^-1 = e2,(x - 1)

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