Questão 42. A solução do sistema \left\{\begin{array}{l}(a-1) x+b y=1 \\\ (a+1) x+2 b y=5\end{array}\right. é x=1 e y=2. Determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} (a-1)x + b y = 1,\\[4pt] (a+1)x + 2b y = 5, \end{cases}
e informa que a solução é x=1 e y=2.
O que é pedido: determinar os valores de a e b que tornam x=1 e y=2 uma solução do sistema.
Informações relevantes dadas:
  • As duas equações lineares dependem dos parâmetros a e b.
  • Sabemos explicitamente a solução proposta: x=1 e y=2.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática): se (x,y)=(1,2) é solução, então ao substituir x=1 e y=2 em cada equação as igualdades devem ficar verdadeiras. Essas substituições geram um sistema de duas equações lineares em a e b. Vamos obter essas duas equações e resolvê-las para encontrar a e b.

Passo 3

Substituindo x=1 e y=2 na primeira equação (a-1)x+by=1:
(a-1)\cdot 1 + b\cdot 2 = 1.
Agora simplifico passo a passo:
a - 1 + 2b = 1.
Isolando termos semelhantes:
a + 2b = 1 + 1 = 2.

Passo 4

Substituindo x=1 e y=2 na segunda equação (a+1)x+2by=5:
(a+1)\cdot 1 + 2b\cdot 2 = 5.
Simplificando:
a + 1 + 4b = 5.
Isolando:
a + 4b = 5 - 1 = 4.

Passo 5

Agora temos o sistema em a\) e \(b\): \[\begin{cases} a + 2b = 2,\\[4pt] a + 4b = 4. \end{cases}
Para eliminar a\], subtraio a primeira equação da segunda: \[(a+4b) - (a+2b) = 4 - 2.\] Isso dá \[2b = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 1.\] Substituo \(b=1 em a + 2b = 2:
a + 2\cdot 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a + 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 0.]

Passo 6

Verificação final (sempre bom checar): com a=0 e b=1, as equações originais ficam
(a-1)x+by = (0-1)x + 1\cdot y = -x + y,
e para x=1,y=2 obtemos -1 + 2 = 1 (confere com a primeira equação).
A segunda: (a+1)x + 2by = (0+1)x + 2\cdot 1\cdot y = x + 2y; com x=1,y=2 obtemos 1 + 4 = 5 (confere com a segunda equação).
Tudo bate, logo os valores encontrados estão corretos.

Resposta

a=0
b=1

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