Utilize a Regra de Cramer para encontrar a solução dos seguintes sistemas.
\left\{\begin{array}{l}2 x-y=2 \\\\ -x+3 y=-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas e pede a solução usando a Regra de Cramer. Especificando claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Sistema dado:
\begin{cases} 2x - y = 2,\\[4pt] - x + 3y = -3. \end{cases}
  • O que se pede: encontrar os valores de \,x e \,y que resolvem o sistema, aplicando a Regra de Cramer.]

Passo 2

Vou explicar a Regra de Cramer para sistemas 2\times2\), passo a passo, como uma pequena aula prática. - Considere um sistema geral \[\begin{cases} a x + b y = e_1,\\[4pt] c x + d y = e_2. \end{cases}
  • A matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\]. Define-se o determinante dessa matriz por \[D = \det\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix} = ad - bc.\] - Para encontrar \(x e y pela Regra de Cramer, constrói-se dois determinantes auxiliares:
    • D_x é o determinante obtido trocando a primeira coluna pela coluna dos termos independentes \begin{pmatrix}e_1\\[2pt] e_2\end{pmatrix}:
    D_x = \det\begin{pmatrix}e_1 & b\\[2pt] e_2 & d\end{pmatrix}.
    • D_y é o determinante obtido trocando a segunda coluna pela coluna dos termos independentes:
    D_y = \det\begin{pmatrix}a & e_1\\[2pt] c & e_2\end{pmatrix}.
  • Se D \neq 0, a solução é
x = \frac{D_x}{D},\qquad y = \frac{D_y}{D}.
Explicação rápida do porquê: determinantes medem área/volume e a regra organiza a solução linear usando essas áreas — não precisa decorar além da fórmula, mas é útil entender que D\neq0 garante solução única.]

Passo 3

Identificar os coeficientes do nosso sistema comparando com o caso geral.
  • Da equação 2x - y = 2 temos a=2, b=-1 e e_1=2.
  • Da equação -x + 3y = -3 temos c=-1, d=3 e e_2=-3.

Passo 4

Calcular o determinante principal D:
D = ad - bc = (2)(3) - (-1)(-1).
Fazendo as contas:
D = 6 - 1 = 5.
Observação importante: D=5\neq0, então existe uma única solução e podemos aplicar a Regra de Cramer normalmente.

Passo 5

Calcular D_x (substituindo a primeira coluna pelos termos independentes):
D_x = \det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt] -3 & 3\end{pmatrix} = (2)(3) - (-1)(-3).
Fazendo as contas:
D_x = 6 - 3 = 3.]

Passo 6

Calcular D_y (substituindo a segunda coluna pelos termos independentes):
D_y = \det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt] -1 & -3\end{pmatrix} = (2)(-3) - (2)(-1).
Fazendo as contas:
D_y = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4.]

Passo 7

Aplicar as fórmulas de Cramer para obter x e y:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{5}, \qquad y = \frac{D_y}{D} = -\frac{4}{5}.
Se quiser ver em decimal: \frac{3}{5}=0,6 e -\frac{4}{5}=-0,8.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na equação original para checar):
  • Primeira equação: 2x-y = 2
2\cdot\frac{3}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2.
  • Segunda equação: -x + 3y = -3
-\frac{3}{5} + 3\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{15}{5} = -3.
As duas equações conferem, solução correta.

Resposta

x=\dfrac{3}{5}
y=-\dfrac{4}{5}

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