Utilize a Regra de Cramer para encontrar a solução dos seguintes sistemas. \left\{\begin{array}{l}2 x-y=2 \\\\ -x+3 y=-3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas e pede a solução usando a Regra de Cramer. Especificando claramente o que foi dado e o que se pede:
Sistema dado:
\begin{cases} 2x - y = 2,\\[4pt] - x + 3y = -3. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de \,x e \,y que resolvem o sistema, aplicando a Regra de Cramer.]
Passo 2
Vou explicar a Regra de Cramer para sistemas 2\times2\), passo a passo, como uma pequena aula prática.
- Considere um sistema geral
\[\begin{cases} a x + b y = e_1,\\[4pt] c x + d y = e_2. \end{cases}
A matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\]. Define-se o determinante dessa matriz por
\[D = \det\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix} = ad - bc.\]
- Para encontrar \(x e y pela Regra de Cramer, constrói-se dois determinantes auxiliares:
D_x é o determinante obtido trocando a primeira coluna pela coluna dos termos independentes \begin{pmatrix}e_1\\[2pt] e_2\end{pmatrix}:
D_y é o determinante obtido trocando a segunda coluna pela coluna dos termos independentes:
D_y = \det\begin{pmatrix}a & e_1\\[2pt] c & e_2\end{pmatrix}.
Se D \neq 0, a solução é
x = \frac{D_x}{D},\qquad y = \frac{D_y}{D}.
Explicação rápida do porquê: determinantes medem área/volume e a regra organiza a solução linear usando essas áreas — não precisa decorar além da fórmula, mas é útil entender que D\neq0 garante solução única.]
Passo 3
Identificar os coeficientes do nosso sistema comparando com o caso geral.
Da equação 2x - y = 2 temos a=2, b=-1 e e_1=2.
Da equação -x + 3y = -3 temos c=-1, d=3 e e_2=-3.
Passo 4
Calcular o determinante principal D:
D = ad - bc = (2)(3) - (-1)(-1).
Fazendo as contas:
D = 6 - 1 = 5.
Observação importante: D=5\neq0, então existe uma única solução e podemos aplicar a Regra de Cramer normalmente.
Passo 5
Calcular D_x (substituindo a primeira coluna pelos termos independentes):