Questão 53 Encontre as coordenandas de A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right) relativo à base canônica do M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
relativamente à base canônica de M_{2}(\mathbb{R}). O que precisamos é escrever A como combinação linear dos vetores da base canônica.

Passo 2

A base canônica de M_{2}(\mathbb{R}) é
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Qualquer matriz \displaystyle A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} pode ser escrita como
A = a_{11}E_{11} + a_{12}E_{12} + a_{21}E_{21} + a_{22}E_{22}.

Passo 4

No nosso caso a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=3 e a_{22}=4. Portanto, as coordenadas de A na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} são
(1,\,2,\,3,\,4).

Resposta

(1,2,3,4)

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