Questão 45 Sejam W_{1}, W_{2} subespaços de V e suponha que \operatorname{dim} W_{1}=4, \operatorname{dim} W_{2}=5 e \operatorname{dim} V=7. Ache as dimensões possíveis de W_{1} \cap W_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços W_{1},W_{2}\subseteq V com
\dim W_{1}=4,\quad \dim W_{2}=5,\quad \dim V=7,
e pede as possíveis dimensões de W_{1}\cap W_{2}. Vamos usar a fórmula de Grassmann para subespaços.

Passo 2

A fórmula de Grassmann diz que, para quaisquer subespaços W_{1} e W_{2} de V,
\dim(W_{1}+W_{2}) = \dim W_{1} + \dim W_{2} - \dim(W_{1}\cap W_{2}).

Passo 3

Como W_{1}+W_{2} é subespaço de V, temos
\dim(W_{1}+W_{2}) \le \dim V =7.
Substituindo a fórmula de Grassmann:
\dim W_{1} + \dim W_{2} - \dim(W_{1}\cap W_{2}) \le 7
4 + 5 - \dim(W_{1}\cap W_{2}) \le 7
9 - \dim(W_{1}\cap W_{2}) \le 7
\dim(W_{1}\cap W_{2}) \ge 2.

Passo 4

Por outro lado, sempre vale
\dim(W_{1}\cap W_{2}) \le \min\{\dim W_{1},\dim W_{2}\} = \min\{4,5\}=4.

Passo 5

Combinando as desigualdades, a dimensão de W_{1}\cap W_{2} pode ser
2,\;3\text{ ou }4.

Resposta

As possíveis dimensões de W_{1}\cap W_{2} são 2,3 ou 4.

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