Questão 41 (URCA-2016.2). Seja A uma matriz invertível de ordem 3 tal que a matriz A^{5}+2 A^{4} é a matriz nula. Qual o valor do determinante de A ?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: A é uma matriz quadrada de ordem 3 e é invertível.
  • Dado: vale a relação matricial \;A^{5}+2A^{4}=0\; (matriz nula).
  • Pede-se: o valor de \det(A).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A matriz nula é a matriz cujo todas as entradas são zero.
  • A matriz identidade de ordem 3 será denotada por I.
  • “Invertível” significa que existe A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I, e em particular \det(A)\neq0.

Passo 2

Fatorar a expressão dada para simplificar a relação.
A equação matricial é
A^{5}+2A^{4}=0.
Como fator comum A^{4} (produto de potências de A é permitido porque são potências da mesma matriz), obtemos
A^{4}(A+2I)=0.
Aqui 2I é a matriz identidade multiplicada pelo escalar 2.
Explicação didática: fatorar é análogo ao que se faz com polinômios escalares. Como A^{5}=A^{4}A, podemos tirar A^{4} à esquerda em ambos os termos.

Passo 3

Usar que A é invertível para concluir que A^{4} também é invertível, e então deduzir que A+2I=0.
Razão: se A é invertível então existe A^{-1}. Logo A^{4}=(A)^{4} também é invertível, porque a inversa de A^{4} é (A^{-1})^{4}. Em termos de determinante, \det(A^{4})=(\det A)^{4}, e como \det(A)\neq0 temos \det(A^{4})\neq0, o que confirma que A^{4} é invertível.
Agora, da igualdade \;A^{4}(A+2I)=0\;, multiplicando à esquerda pela inversa de A^{4} (que existe) obtemos
A+2I=0.
Explicação didática: se XY=0 e X é invertível, multiplica-se por X^{-1} e obtém-se Y=0. Aqui X=A^{4} e Y=A+2I.

Passo 4

Resolver para A e interpretar o resultado.
Da igualdade A+2I=0 segue
A=-2I.
Isto significa que A é uma matriz escalar: todas as entradas fora da diagonal são 0 e as entradas da diagonal são -2.
Didática sobre o tipo de matriz: A=-2I tem as três autovalores iguais a -2 (cada autovalor corresponde ao escalar multiplicador da identidade).

Passo 5

Calcular \det(A).
Usar a propriedade do determinante para matriz escalar: para a matriz identidade de ordem n e escalar c vale \det(cI_n)=c^{n}. Uma maneira intuitiva de ver isso é: multiplicar uma linha de uma matriz por c multiplica o determinante por c; como cI_n tem c em cada uma das n linhas da forma canônica, o determinante recebe fator c por linha, totalizando c^{n}.
Aqui n=3 e c=-2, então
\det(A)=\det(-2I_3)=(-2)^{3}.
Calcule: (-2)^{3}=-8.

Resposta

-8

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