Questão 41 (URCA-2016.2). Seja
uma matriz invertível de ordem 3 tal que a matriz
é a matriz nula. Qual o valor do determinante de
?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado:
é uma matriz quadrada de ordem e é invertível. - Dado: vale a relação matricial
(matriz nula). - Pede-se: o valor de
.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A matriz nula é a matriz cujo todas as entradas são zero.
- A matriz identidade de ordem
será denotada por . - “Invertível” significa que existe
tal que , e em particular .
Passo 2
Fatorar a expressão dada para simplificar a relação.
A equação matricial é
A equação matricial é
Como fator comum
(produto de potências de
é permitido porque são potências da mesma matriz), obtemos
Aqui
é a matriz identidade multiplicada pelo escalar
.
Explicação didática: fatorar é análogo ao que se faz com polinômios escalares. Como
, podemos tirar
à esquerda em ambos os termos.
Passo 3
Usar que
é invertível para concluir que
também é invertível, e então deduzir que
.
Razão: se é invertível então existe
. Logo
também é invertível, porque a inversa de
é
. Em termos de determinante,
, e como
temos
, o que confirma que
é invertível.
Razão: se
Agora, da igualdade
, multiplicando à esquerda pela inversa de
(que existe) obtemos
Explicação didática: se
e
é invertível, multiplica-se por
e obtém-se
. Aqui
e
.
Passo 4
Resolver para
e interpretar o resultado.
Da igualdade segue
Da igualdade
Isto significa que
é uma matriz escalar: todas as entradas fora da diagonal são
e as entradas da diagonal são
.
Didática sobre o tipo de matriz:
tem as três autovalores iguais a
(cada autovalor corresponde ao escalar multiplicador da identidade).
Passo 5
Calcular
.
Usar a propriedade do determinante para matriz escalar: para a matriz identidade de ordem e escalar
vale
. Uma maneira intuitiva de ver isso é: multiplicar uma linha de uma matriz por
multiplica o determinante por
; como
tem
em cada uma das
linhas da forma canônica, o determinante recebe fator
por linha, totalizando
.
Usar a propriedade do determinante para matriz escalar: para a matriz identidade de ordem
Aqui
e
, então
Calcule:
.