Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que a_{i j}=\min \{i, j\}. Encontre a inversa de A pelos seguintes métodos:
matriz adjunta.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3\times3} com a_{i j}=\min\{i,j\} e pede para encontrar A^{-1} usando a matriz adjunta (adjugada). As informações que podemos retirar diretamente do enunciado são:
A dimensão é 3\times3.
Calculando \min\{i,j\} para i,j=1,2,3 obtemos as entradas da matriz. Assim:
O que é pedido: a inversa \,A^{-1}\, obtida pelo método da matriz adjunta (ou adjugada).]
Passo 2
Lembrete didático do método da matriz adjunta:
Para uma matriz inversível A vale a fórmula
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
A matriz \operatorname{adj}(A) (adjugada) é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, se C=(C_{ij}) é a matriz dos cofatores, então \operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}.
O cofator C_{ij} é definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de A obtido ao eliminar a linha i e a coluna j (ou seja, o determinante da submatriz 2\times2 correspondente).
Para aplicar o método precisamos então de \det(A) e de todos os cofatores C_{ij}.
Passo 3
Calcular \det(A). É prático simplificar por operações elementares de linhas que não alteram o determinante: somar/subtrair múltiplas de uma linha em outra não muda \det.
Verificação rápida (apenas um ou dois produtos para ganhar confiança):
Primeira entrada de A\cdot A^{-1}: (1,1,1)\cdot(2,-1,0)=2-1+0=1.
Primeira linha vezes segunda coluna: (1,1,1)\cdot(-1,2,-1)=-1+2-1=0.
Fica coerente com a matriz identidade; se necessário pode-se verificar as demais entradas da mesma forma.]