Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que a_{i j}=\min \{i, j\}. Encontre a inversa de A pelos seguintes métodos:
matriz adjunta.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3\times3} com a_{i j}=\min\{i,j\} e pede para encontrar A^{-1} usando a matriz adjunta (adjugada). As informações que podemos retirar diretamente do enunciado são:
  • A dimensão é 3\times3.
  • Calculando \min\{i,j\} para i,j=1,2,3 obtemos as entradas da matriz. Assim:
A=\begin{pmatrix} \min\{1,1\} & \min\{1,2\} & \min\{1,3\}\\[4pt] \min\{2,1\} & \min\{2,2\} & \min\{2,3\}\\[4pt] \min\{3,1\} & \min\{3,2\} & \min\{3,3\} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
  • O que é pedido: a inversa \,A^{-1}\, obtida pelo método da matriz adjunta (ou adjugada).]

Passo 2

Lembrete didático do método da matriz adjunta:
  • Para uma matriz inversível A vale a fórmula
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
  • A matriz \operatorname{adj}(A) (adjugada) é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, se C=(C_{ij}) é a matriz dos cofatores, então \operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}.
  • O cofator C_{ij} é definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de A obtido ao eliminar a linha i e a coluna j (ou seja, o determinante da submatriz 2\times2 correspondente).
  • Para aplicar o método precisamos então de \det(A) e de todos os cofatores C_{ij}.

Passo 3

Calcular \det(A). É prático simplificar por operações elementares de linhas que não alteram o determinante: somar/subtrair múltiplas de uma linha em outra não muda \det.
Partindo de
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},
faço as operações (cada operação do tipo R_k\leftarrow R_k - R_\ell não altera o determinante):
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow R_2=(0,1,1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \Rightarrow R_3=(0,1,2).
  • Agora R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \Rightarrow R_3=(0,0,1).
A matriz transformada é triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, logo
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1.
Portanto \det(A)=1. Bom sinal: a inversa existe e não precisaremos dividir por um número complicado.]

Passo 4

Calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Vou fazer isso linha a linha.
Para i=1:
  • M_{11}=\det\!\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-2\cdot2=6-4=2. Então C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=+2.
  • M_{12}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot1=3-2=1. Então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1.
  • M_{13}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot1=2-2=0. Então C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+0.
Para i=2:
  • M_{21}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot2=3-2=1. Então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1.
  • M_{22}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot1=3-1=2. Então C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=+2.
  • M_{23}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1. Então C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1.
Para i=3:
  • M_{31}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot2=2-2=0. Então C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+0.
  • M_{32}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1. Então C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1.
  • M_{33}=\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=1 (mesmo menor que o anterior), então C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=+1.
Assim a matriz de cofatores C=(C_{ij}) é
C=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a adjugada e a inversa.
  • A adjugada é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Note que aqui C já é simétrica, então \operatorname{adj}(A)=C.
  • Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=1\cdot\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (apenas um ou dois produtos para ganhar confiança):
  • Primeira entrada de A\cdot A^{-1}: (1,1,1)\cdot(2,-1,0)=2-1+0=1.
  • Primeira linha vezes segunda coluna: (1,1,1)\cdot(-1,2,-1)=-1+2-1=0.
    Fica coerente com a matriz identidade; se necessário pode-se verificar as demais entradas da mesma forma.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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