Questão 42 (URCA-2014.2). Considere duas matrizes M_{1} e M_{2}, Sabemos que:
I) M_{1} e M_{2} são de ordem 3;
II) M_{2}=3^{\frac{1}{9}} M_{1};

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras (peguei-as do enunciado enviado):
  • M_{1} e M_{2} são matrizes de ordem 3 (ou seja, são matrizes 3\times3).
  • M_{2}=3^{\frac{1}{9}}M_{1}.
A pergunta implícita que vamos resolver é: qual é a relação entre \det(M_{2}) e \det(M_{1})? (ou seja, expressar \det(M_{2}) em função de \det(M_{1})).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e simples): existe uma propriedade básica dos determinantes relacionada à multiplicação por escalar. Se A é uma matriz n\times n e k é um número real (ou complexo), então
\det(kA)=k^{n}\det(A).
O que isso significa, em palavras: multiplicar toda a matriz A por um escalar k é o mesmo que multiplicar cada linha (ou cada coluna) de A por k. Como o determinante é linear em cada linha separadamente, multiplicar uma única linha por k multiplica o determinante por k; multiplicando simultaneamente as n linhas por k o determinante é multiplicado por k n vezes, ou seja por k^{n}.

Passo 3

Pequeno exemplo concreto (para fixar a ideia): seja
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
uma matriz 2\times2. Então \det(A)=ad-bc. Se multiplicarmos A por k, obtemos
kA=\begin{pmatrix} ka & kb\\\ kc & kd\end{pmatrix},
e
\det(kA)=(ka)(kd)-(kb)(kc)=k^{2}(ad-bc)=k^{2}\det(A).
Isso confirma a regra \det(kA)=k^{n}\det(A) para n=2.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: aqui n=3 (matrizes 3\times3) e o escalar é k=3^{\frac{1}{9}}. Assim
\det(M_{2})=\det\bigl(3^{\frac{1}{9}}M_{1}\bigr)=\bigl(3^{\frac{1}{9}}\bigr)^{3}\det(M_{1}).
Agora calculamos a potência do escalar:
\bigl(3^{\tfrac{1}{9}}\bigr)^{3}=3^{\tfrac{3}{9}}=3^{\tfrac{1}{3}}.
Portanto
\det(M_{2})=3^{\tfrac{1}{3}}\det(M_{1}).

Passo 5

Observações extras úteis na prova (curtas e práticas):
  • Se for pedido elevar ambos os determinantes a alguma potência, pode-se manipular a relação encontrada. Por exemplo, elevando ambos os lados a 9 vem
\bigl(\det(M_{2})\bigr)^{9}=\bigl(3^{\tfrac{1}{3}}\det(M_{1})\bigr)^{9}=3^{3}\bigl(\det(M_{1})\bigr)^{9}=27\bigl(\det(M_{1})\bigr)^{9}.
  • Se \det(M_{1}) for conhecido numericamente, basta multiplicar por 3^{1/3} para obter \det(M_{2}).

Resposta

\det(M_{2})=3^{\tfrac{1}{3}}\det(M_{1})

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