Questão 42 (URCA-2014.2). Considere duas matrizes
e
, Sabemos que:
I)
e
são de ordem 3;
II)
;
I)
II)
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras (peguei-as do enunciado enviado):
-
e são matrizes de ordem (ou seja, são matrizes ). -
.
A pergunta implícita que vamos resolver é: qual é a relação entre
e
? (ou seja, expressar
em função de
).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e simples): existe uma propriedade básica dos determinantes relacionada à multiplicação por escalar. Se
é uma matriz
e
é um número real (ou complexo), então
O que isso significa, em palavras: multiplicar toda a matriz
por um escalar
é o mesmo que multiplicar cada linha (ou cada coluna) de
por
. Como o determinante é linear em cada linha separadamente, multiplicar uma única linha por
multiplica o determinante por
; multiplicando simultaneamente as
linhas por
o determinante é multiplicado por
vezes, ou seja por
.
Passo 3
Pequeno exemplo concreto (para fixar a ideia): seja
uma matriz
. Então
. Se multiplicarmos
por
, obtemos
e
Isso confirma a regra
para
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: aqui
(matrizes
) e o escalar é
. Assim
Agora calculamos a potência do escalar:
Portanto
Passo 5
Observações extras úteis na prova (curtas e práticas):
- Se for pedido elevar ambos os determinantes a alguma potência, pode-se manipular a relação encontrada. Por exemplo, elevando ambos os lados a
vem
- Se
for conhecido numericamente, basta multiplicar por para obter .