Questão 43 (U.F. Santa Maria-RS). Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 3, tais que A \cdot B=C^{-1}, B=2 A e \operatorname{det}\text{(C)}=8. Calcule |\operatorname{det}(A)|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
  • A, B e C são matrizes reais de ordem 3.
  • B = 2A.
  • A\cdot B = C^{-1}.
  • \det\text{(C)}=8.
O que se pede:
  • Calcular |\det(A)|.

Passo 2

Vamos reunir as propriedades de determinante que vamos usar. Vou explicar cada uma direitinho.
  1. Produto de matrizes:
\det(AB)=\det(A)\det(B),
onde A e B são matrizes quadradas da mesma ordem. Isso significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
  1. Multiplicação por escalar:
    Se A é uma matriz de ordem n e k é um número real, então
\det(kA)=k^{n}\det(A).
Aqui n é a ordem da matriz (número de linhas = número de colunas). No nosso caso n=3. Para sentir essa propriedade com os dedos, um exemplo rápido para 2\times2: se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então
\det(kA)=\det\begin{pmatrix}ka&kb\\\ kc&kd\end{pmatrix}=(ka)(kd)-(kb)(kc)=k^{2}(ad-bc)=k^{2}\det(A).
  1. Inversa:
    Se M é invertível, então
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.
Isto vem de \det(MM^{-1})=\det(I)=1, então \det(M)\det(M^{-1})=1.
Vou aplicar essas três propriedades ao problema.

Passo 3

Usando a propriedade de multiplicação por escalar com k=2 e n=3 (pois A é 3\times3) obtemos:
\det(B)=\det(2A)=2^{3}\det(A)=8\det(A).

Passo 4

Agora use a propriedade do determinante do produto na igualdade dada A\cdot B=C^{-1}:
\det(A\cdot B)=\det(C^{-1}).
Pelo item 1,
\det(A)\det(B)=\det(C^{-1}).
Pelo item 3 e pela informação do enunciado \det\text{(C)}=8,
\det(C^{-1})=\frac{1}{\det\text{(C)}}=\frac{1}{8}.
Logo
\det(A)\det(B)=\frac{1}{8}.

Passo 5

Substituindo \det(B)=8\det(A) (Passo 3) na igualdade do Passo 4:
\det(A)\cdot\bigl(8\det(A)\bigr)=\frac{1}{8}.
Isto é
8\det(A)^{2}=\frac{1}{8}.
Dividindo ambos os lados por 8,
\det(A)^{2}=\frac{1}{64}.
Extraindo raiz quadrada (lembrando que o determinante pode ser positivo ou negativo),
\det(A)=\pm\frac{1}{8}.

Passo 6

A pergunta pede o valor absoluto de \det(A). Tomando o valor absoluto de \det(A)=\pm\dfrac{1}{8} obtemos
\bigl|\det(A)\bigr|=\frac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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