Questão 43 (U.F. Santa Maria-RS). Sejam
e
matrizes reais de ordem 3, tais que
e
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
-
, e são matrizes reais de ordem . -
. -
. -
.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Vamos reunir as propriedades de determinante que vamos usar. Vou explicar cada uma direitinho.
- Produto de matrizes:
onde
e
são matrizes quadradas da mesma ordem. Isso significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
- Multiplicação por escalar:
Seé uma matriz de ordem e é um número real, então
Aqui
é a ordem da matriz (número de linhas = número de colunas). No nosso caso
. Para sentir essa propriedade com os dedos, um exemplo rápido para
: se
, então
- Inversa:
Seé invertível, então
Isto vem de
, então
.
Vou aplicar essas três propriedades ao problema.
Passo 3
Usando a propriedade de multiplicação por escalar com
e
(pois
é
) obtemos:
Passo 4
Agora use a propriedade do determinante do produto na igualdade dada
:
Pelo item 1,
Pelo item 3 e pela informação do enunciado
,
Logo
Passo 5
Substituindo
(Passo 3) na igualdade do Passo 4:
Isto é
Dividindo ambos os lados por
,
Extraindo raiz quadrada (lembrando que o determinante pode ser positivo ou negativo),
Passo 6
A pergunta pede o valor absoluto de
. Tomando o valor absoluto de
obtemos