Questão 42
Para cada inteiro não negativo n , define-se a função
por:
Desta forma o conjunto imagem da função
, para cada
é:
(A)
.
(B) 0 .
(C)
.
(D) Qualquer valor pertencente a R .
(E)
.
(A)
(B) 0 .
(C)
(D) Qualquer valor pertencente a R .
(E)
Passo 1
O enunciado dá, para cada inteiro não negativo
, a função
A pergunta é: qual é o conjunto imagem (o conjunto de todos os valores possíveis de
quando
varia em
) para cada
(inteiro não negativo)?
Passo 2
Entender a expressão básica: para qualquer real
e qualquer inteiro
, a potência
é um número real não negativo. Isso porque:
já que
para todo
e elevar um número não negativo a potência inteira não negativa mantém a não negatividade. Portanto podemos definir
Passo 3
Reescrever
em termos de
. Para todo
existe algum
(por exemplo
quando
) tal que
. Assim os valores de
são exatamente os valores de
Portanto o problema de achar a imagem de
reduz-se a achar a imagem da função
no intervalo
.
Passo 4
Analisar a função
em
.
- Valor em
:
Logo o valor
pertence à imagem.
- Monotonicidade (mostra que
é crescente): seja . Então
Como
e o denominador é positivo, segue que
. Portanto
é estritamente crescente em
.
- Limite quando
:
Esse limite mostra que os valores de
se aproximam de
quando
cresce sem limite, mas para verificar se
é atingido, resolvemos
impossível. Logo
nunca vale exatamente
.
Juntando:
é contínua, crescente, tem
e
sem atingi-lo. Portanto a imagem de
em
é o intervalo
Passo 5
Relacionar de volta com
. Para qualquer
temos que
percorre todo
quando
varia em
, logo a imagem de
é exatamente a imagem de
, isto é
.
Observação sobre
: se
então formalmente
. Em muitos contextos toma-se
para todo
e, por convenção em funções definidas em
, costuma-se adotar
também, o que dá
constante e imagem
. Isso não contradiz o caso
, e
. A resposta padrão pedida pela prova refere-se ao comportamento para
positivo e corresponde a
.
Resposta
(A)