Questão 42

Para cada inteiro não negativo n , define-se a função f_{n} por: f_{n}: R \Rightarrow R e f_{n}(x)=\frac{x^{2 n}}{1+x^{2 n}} \quad Desta forma o conjunto imagem da função f_{n}, para cada n \in N é:
(A) [0,1).
(B) 0 .
(C) [0,+1).
(D) Qualquer valor pertencente a R .
(E) [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá, para cada inteiro não negativo n, a função
f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f_{n}(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}.
A pergunta é: qual é o conjunto imagem (o conjunto de todos os valores possíveis de f_n(x) quando x varia em \mathbb{R}) para cada n\in\mathbb{N}_0 (inteiro não negativo)?

Passo 2

Entender a expressão básica: para qualquer real x e qualquer inteiro n\ge 0, a potência x^{2n} é um número real não negativo. Isso porque:
x^{2n}=(x^2)^n\ge 0,
já que x^2\ge 0 para todo x e elevar um número não negativo a potência inteira não negativa mantém a não negatividade. Portanto podemos definir
t:=x^{2n}\qquad\text{com}\qquad t\in[0,\infty).

Passo 3

Reescrever f_n em termos de t. Para todo t\in[0,\infty) existe algum x (por exemplo x=t^{1/(2n)} quando n\ge1) tal que t=x^{2n}. Assim os valores de f_n são exatamente os valores de
g(t)=\frac{t}{1+t},\qquad t\in[0,\infty).
Portanto o problema de achar a imagem de f_n reduz-se a achar a imagem da função g no intervalo [0,\infty).

Passo 4

Analisar a função g(t)=\dfrac{t}{1+t} em [0,\infty).
  1. Valor em t=0:
g(0)=\frac{0}{1+0}=0.
Logo o valor 0 pertence à imagem.
  1. Monotonicidade (mostra que g é crescente): seja 0\le t_1<t_2. Então
g(t_2)-g(t_1)=\frac{t_2}{1+t_2}-\frac{t_1}{1+t_1} =\frac{t_2(1+t_1)-t_1(1+t_2)}{(1+t_1)(1+t_2)} =\frac{t_2-t_1}{(1+t_1)(1+t_2)}.
Como t_2-t_1>0 e o denominador é positivo, segue que g(t_2)-g(t_1)>0. Portanto g é estritamente crescente em [0,\infty).
  1. Limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{1+t}=1.
Esse limite mostra que os valores de g(t) se aproximam de 1 quando t cresce sem limite, mas para verificar se 1 é atingido, resolvemos
\frac{t}{1+t}=1\quad\Longrightarrow\quad t=1+t\quad\Longrightarrow\quad 0=1,
impossível. Logo g(t) nunca vale exatamente 1.
Juntando: g é contínua, crescente, tem g(0)=0 e \lim_{t\to\infty}g(t)=1 sem atingi-lo. Portanto a imagem de g em [0,\infty) é o intervalo
[0,1).

Passo 5

Relacionar de volta com f_n. Para qualquer n\ge 1 temos que t=x^{2n} percorre todo [0,\infty) quando x varia em \mathbb{R}, logo a imagem de f_n é exatamente a imagem de g, isto é [0,1).
Observação sobre n=0: se n=0 então formalmente x^{2n}=x^0. Em muitos contextos toma-se x^0=1 para todo x\neq0 e, por convenção em funções definidas em \mathbb{R}, costuma-se adotar 0^0=1 também, o que dá f_0(x)=\dfrac{1}{1+1}=\tfrac{1}{2} constante e imagem \{\tfrac{1}{2}\}. Isso não contradiz o caso n\ge1, e \{\tfrac{1}{2}\}\subset[0,1). A resposta padrão pedida pela prova refere-se ao comportamento para n positivo e corresponde a [0,1).

Resposta

(A) [0,1)

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