Questão 40

Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B . 45 \% dos empregados da empresa trabalham na matriz e 25 \% dos empregados trabalham na filial A. De todos os empregados desta empresa, 40% optaram por associaremse a um clube, sendo que 25 \% dos empregados da matriz e 45 \% empregados da filial A se associaram. O percentual de empregados da filial B que se associaram ao clube é de:
(A) 17,5 \%.
(B) 19,0 \%.
(C) 31,1 \%.
(D) 58,3 \%.
(E) 61,7 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A proporção de empregados na matriz M é \;45\%.
    • A proporção de empregados na filial A é \;25\%.
    • A proporção total de empregados que se associaram ao clube é \;40\%.
    • Na matriz M, \;25\% dos empregados se associaram.
    • Na filial A, \;45\% dos empregados se associaram.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Qual é o percentual (entre os empregados da filial B) que se associaram ao clube? Em outras palavras: entre os empregados que trabalham em B, que fração (em %) se associou?

Passo 2

Primeiro achamos a proporção de empregados que trabalham na filial B. Como as três partes (matriz M, filial A e filial B) somam 100\%, temos:
p_B = 100\% - p_M - p_A.
Substituindo p_M=45\% e p_A=25\%,
p_B = 100\% - 45\% - 25\% = 30\%.
Portanto 30\% dos empregados trabalham em B.

Passo 3

Explico a ideia que vamos usar (uma “aula rápida” sobre como combinar percentuais por grupos).
Se uma população é dividida em grupos com proporções p_1,p_2,\dots (em frações ou %), e em cada grupo uma certa fração r_1,r_2,\dots realiza um evento (aqui: associar-se), então a proporção total da população que realizou o evento é a soma das contribuições de cada grupo:
\text{total} = p_1\cdot r_1 + p_2\cdot r_2 + \cdots
Cada termo p_i\cdot r_i representa a parcela da população total que é do grupo i e que realizou o evento. No nosso problema:
  • p_M, p_A, p_B são as proporções dos empregados em M,A,B (em % ou fração),
  • r_M, r_A, r_B são as frações dentro de cada filial que se associaram.
    A informação total diz que
40\% = p_M\cdot r_M + p_A\cdot r_A + p_B\cdot r_B.
Dessa equação podemos isolar r_B porque conhecemos todos os outros termos.

Passo 4

Vamos calcular as contribuições de M e A para o total de 40\%.
Converterei porcentagens para frações decimais nas contas (mas mantendo o raciocínio em % também funciona):
  • Proporção de M: p_M = 45\% = 0{,}45.
  • Taxa de associação em M: r_M = 25\% = 0{,}25.
    A contribuição de M para o total é
p_M\cdot r_M = 0{,}45 \times 0{,}25 = 0{,}1125 = 11{,}25\%.
  • Proporção de A: p_A = 25\% = 0{,}25.
  • Taxa de associação em A: r_A = 45\% = 0{,}45.
    A contribuição de A para o total é
p_A\cdot r_A = 0{,}25 \times 0{,}45 = 0{,}1125 = 11{,}25\%.
Somando as contribuições de M e A,
\text{contribuição}_{M+A} = 11{,}25\% + 11{,}25\% = 22{,}5\%.çã

Passo 5

Agora determinamos quanto, em % do total da empresa, corresponde às pessoas de B que se associaram. Como o total de associados é 40\%, a parcela vinda de B é
\text{contribuição}_B = 40\% - 22{,}5\% = 17{,}5\%.çã
Essa 17{,}5\% é a fração do total de empregados que são de B e se associaram. Mas a pergunta pede a porcentagem dentre os empregados da própria filial B. Ou seja, queremos r_B tal que
p_B \cdot r_B = 17{,}5\%.
Como já achamos p_B = 30\% = 0{,}30, isolamos r_B:
r_B = \frac{17{,}5\%}{30\%} = \frac{0{,}175}{0{,}30}.

Passo 6

Faço a divisão e simplificação para obter r_B.
Em forma de fração:
\frac{0{,}175}{0{,}30} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12}.
Convertendo para decimal:
\frac{7}{12} \approx 0{,}583333\ldots
Transformando em porcentagem:
r_B \approx 58{,}333\ldots\% \approx 58{,}3\%.

Resposta

58{,}3\%

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