Questão 41

Para numerar as páginas de um livro, um digitador deu 2901 toques no teclado. O número de páginas do livro é:
(A) 2892.
(B) 1002.
(C) 2712.
(D) 2700.
(E) 2020.

Passo 1

O enunciado diz que, para numerar as páginas de um livro, um digitador deu \,2901\, toques no teclado. A pergunta é: qual é o número de páginas do livro?
As opções fornecidas são: \,(A)\;2892,\;(B)\;1002,\;\text{(C)}\;2712,\;(D)\;2700,\;(E)\;2020.
Informações relevantes que temos:
  • O número total de toques/dígitos usados é \,2901\,.
  • As páginas são numeradas sequencialmente a partir de \,1\, até o número final \,n (que queremos achar).

Passo 2

Vamos entender como contar os toques (dígitos) necessários para numerar páginas de 1 até n. A ideia é dividir em blocos conforme o número de algarismos:
  • Números de 1 a 9 têm 1 algarismo cada: são 9 páginas e usam 9\cdot1 dígitos.
  • Números de 10 a 99 têm 2 algarismos cada: são 90 páginas e usam 90\cdot2 dígitos.
  • Números de 100 a 999 têm 3 algarismos cada: são 900 páginas e usam 900\cdot3 dígitos.
  • Números de 1000 em diante têm 4 algarismos cada, e assim por diante.
Isso vem da contagem de quantos números existem com certo número de dígitos: por exemplo, entre 10 e 99 99-10+1=90 números.

Passo 3

Calcular o total de dígitos usados até a página \,9:
9\cdot1 = 9.

Passo 4

Calcular o total de dígitos usados das páginas \,10 até \,99:
90\cdot2 = 180.
Somando com o bloco anterior, o total de dígitos até \,99 é
9 + 180 = 189.

Passo 5

Calcular o total de dígitos usados das páginas \,100 até \,999:
900\cdot3 = 2700.
Somando com o total até \,99, o total de dígitos até \,999 é
189 + 2700 = 2889.

Passo 6

Comparar o total encontrado com o total dado no enunciado. O digitador usou \,2901\, toques, e vimos que numerar até \,999\, exige \,2889\, toques. Portanto sobram:
2901 - 2889 = 12
dígitos que correspondem às páginas a partir de \,1000\,.

Passo 7

Cada página a partir de \,1000\, usa \,4\, dígitos. Para usar os \,12\, dígitos restantes precisamos de
\frac{12}{4} = 3
páginas adicionais além de \,999. Como a divisão é exata, não sobra nem falta de dígitos.

Passo 8

Portanto o número final de páginas é
999 + 3 = 1002.

Passo 9

Verificação rápida: total de dígitos para numerar até \,1002\, é
9\cdot1 + 90\cdot2 + 900\cdot3 + 3\cdot4 = 9 + 180 + 2700 + 12 = 2901,
que bate exatamente com o enunciado.

Resposta

1002

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