Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
que é uma EDO linear de segunda ordem com superposição de duas forças:
e um impulso
. Vamos usar o princípio da superposição:
- Resolver para o forçamento
em repouso inicial. - Encontrar a resposta ao impulso
. - Somar as duas respostas.
Passo 2
Encontrar a solução geral homogênea. A equação homogênea é
A equação característica é
Logo
Passo 3
Achar uma particular
Derivando e substituindo em
, obtemos o sistema
cuja solução é
. Portanto
Passo 4
Impor as condições iniciais
,
considerando apenas a parte sem o impulso. Escrevemos
Em
:
e
Logo a resposta ao forçamento
é
Passo 5
Agora a resposta ao impulso
numa EDO com operador
é dada pela resposta ao impulso
Pela propriedade do deslocamento, o impulso em
gera
onde
é a função degrau unitário.
Resposta
Somando as partes, a solução do PVI é