Resolva os seguintes problemas de valor inicial considerando as condições iniciais fornecidas.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=\sin t+\delta(t-3 \pi) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''+2y'+3y=\sin t+\delta(t-3\pi),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
que é uma EDO linear de segunda ordem com superposição de duas forças: \sin t e um impulso \delta(t-3\pi). Vamos usar o princípio da superposição:
  1. Resolver para o forçamento \sin t em repouso inicial.
  2. Encontrar a resposta ao impulso \delta(t-3\pi).
  3. Somar as duas respostas.

Passo 2

Encontrar a solução geral homogênea. A equação homogênea é
y''+2y'+3y=0.
A equação característica é
r^2+2r+3=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm i\sqrt{2}.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t)+C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr).

Passo 3

Achar uma particular y_{p1}\) para o termo \(\sin t\). Fazemos o ansatz \[y_{p1}(t)=a\sin t+b\cos t.
Derivando e substituindo em y''+2y'+3y=\sin t, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a-2b=1,\\\\ 2a+2b=0, \end{cases}
cuja solução é a=\tfrac14\], \(b=-\tfrac14. Portanto
y_{p1}(t)=\tfrac14\sin t-\tfrac14\cos t.

Passo 4

Impor as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 considerando apenas a parte sem o impulso. Escrevemos
y_1(t)=y_h(t)+y_{p1}(t) =e^{-t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t)+C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr) +\tfrac14(\sin t-\cos t).
Em t=0:
y_1(0)=C_1-\tfrac14=0\;\Longrightarrow\;C_1=\tfrac14,
e
y_1'(0)=-C_1+\sqrt{2}\,C_2+\tfrac14=0 \;\Longrightarrow\;-\,\tfrac14+\sqrt{2}\,C_2+\tfrac14=0 \;\Longrightarrow\;C_2=0.
Logo a resposta ao forçamento \sin t é
y_1(t) =\tfrac14\bigl(\sin t-\cos t+e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t)\bigr).

Passo 5

Agora a resposta ao impulso \delta(t-3\pi) numa EDO com operador L[y]=y''+2y'+3y é dada pela resposta ao impulso
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac1{s^2+2s+3}\Bigr\} =\frac1{\sqrt{2}}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t)\quad(t\ge0).
Pela propriedade do deslocamento, o impulso em t=3\pi gera
y_2(t)=g(t-3\pi)\,H(t-3\pi) =\frac1{\sqrt{2}}\,e^{-(t-3\pi)}\sin\bigl(\sqrt{2}(t-3\pi)\bigr)\;H(t-3\pi),
onde H é a função degrau unitário.

Resposta

Somando as partes, a solução do PVI é
\boxed{ y(t) =\frac14\bigl(\sin t-\cos t+e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t)\bigr) +\frac1{\sqrt{2}}\,e^{-(t-3\pi)}\sin\!\bigl(\sqrt{2}(t-3\pi)\bigr)\,H(t-3\pi). }

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