Questão 3 [ 2,0 pontos]: Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos (2 x)}-1}{\operatorname{tg}(3 x)-2 \cdot e^{(\operatorname{sen} x)}+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos(2x)}-1}{\operatorname{tg}(3x)-2\cdot e^{(\operatorname{sen} x)}+2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador da fração é \sqrt{\cos(2x)}-1.
  • O denominador da fração é \operatorname{tg}(3x)-2\cdot e^{(\operatorname{sen} x)}+2.
  • O ponto de interesse para x é x=0.

Passo 2

Primeiro, vou verificar se ao substituir x=0 obtemos uma forma indeterminada — isso é importante para decidir se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Calcular os valores quando x=0:
\sqrt{\cos(2\cdot 0)}-1=\sqrt{\cos 0}-1=\sqrt{1}-1=0,
\operatorname{tg}(3\cdot 0)-2\cdot e^{\operatorname{sen}0}+2=\tan 0 -2\cdot e^{0}+2=0-2\cdot1+2=0.
Portanto o limite tem a forma \tfrac{0}{0}, ou seja, é uma indeterminação do tipo 0/0. Nessas situações a Regra de L’Hôpital é uma ferramenta apropriada — ela diz que, sob condições usuais de diferenciabilidade, a limite da razão das funções é igual ao limite da razão de suas derivadas (se esse limite existir).
Explicando a Regra de L’Hôpital, de modo prático:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital: calcular f'(x) e g'(x), onde
f(x)=\sqrt{\cos(2x)}-1,\qquad g(x)=\tan(3x)-2e^{\sin x}+2.

Passo 3

Derivar o numerador f(x)=\sqrt{\cos(2x)}-1.
Passo a passo da derivada (uso da regra da cadeia):
  • Escrever f(x)=(\cos(2x))^{1/2}-1.
  • A derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • A derivada de \cos(2x) em relação a x é -2\sin(2x).
Aplicando a cadeia:
f'(x)=\frac{1}{2}(\cos(2x))^{-1/2}\cdot\big(-2\sin(2x)\big).
Simplificando os fatores 2 e -2:
f'(x)=-\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}}.
Observação: para x próximo de 0 temos \cos(2x)>0, então a raiz está bem definida.

Passo 4

Derivar o denominador g(x)=\tan(3x)-2e^{\sin x}+2.
Passo a passo:
  • Derivada de \tan(3x): usar que \dfrac{d}{dx}\tan(u)=u'\operatorname{sec}^2(u). Aqui u=3x e u'=3. Logo \dfrac{d}{dx}\tan(3x)=3\operatorname{sec}^2(3x).
  • Derivada de -2e^{\sin x}: usar que \dfrac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cdot\cos x (cadeia: derivada de \sin x é \cos x). Multiplicando por -2 -2 e^{\sin x}\cos x.
  • Derivada de +2 é 0.
Assim
g'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x)-2e^{\sin x}\cos x.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (se existir):
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos(2x)}-1}{\operatorname{tg}(3x)-2e^{\sin x}+2} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{-\dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}}}{3\operatorname{sec}^2(3x)-2e^{\sin x}\cos x}.
Agora avaliar esse limite diretamente substituindo x=0, pois não há mais indeterminação (verifico o numerador e o denominador separadamente):
  • Numerador em 0:
-\frac{\sin(2\cdot 0)}{\sqrt{\cos(2\cdot 0)}}=-\frac{0}{\sqrt{1}}=0.
  • Denominador em 0:
3\operatorname{sec}^2(0)-2e^{\sin 0}\cos 0=3\cdot 1 -2\cdot 1\cdot 1=3-2=1,
que é diferente de zero.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1\neq0, o limite da razão é simplesmente 0/1=0.
Se quiser intuir sem derivadas: expandindo em séries, o numerador é de ordem \mathcal{O}(x^2) e o denominador tem termo linear \mathcal{O}(x), então a razão tende a 0. A L’Hôpital confirma isso de forma rigorosa.

Resposta

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