Questão 3 [ 2,0 pontos]: Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador da fração é
. - O denominador da fração é
. - O ponto de interesse para
é .
Passo 2
Primeiro, vou verificar se ao substituir
obtemos uma forma indeterminada — isso é importante para decidir se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Calcular os valores quando
:
Portanto o limite tem a forma
, ou seja, é uma indeterminação do tipo
. Nessas situações a Regra de L’Hôpital é uma ferramenta apropriada — ela diz que, sob condições usuais de diferenciabilidade, a limite da razão das funções é igual ao limite da razão de suas derivadas (se esse limite existir).
Explicando a Regra de L’Hôpital, de modo prático:
- Se
e e são diferenciáveis perto de com próximo de (exceto possivelmente em ), então
quando o limite à direita existir (ou for
).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital: calcular
e
, onde
Passo 3
Derivar o numerador
.
Passo a passo da derivada (uso da regra da cadeia):
- Escrever
. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Aplicando a cadeia:
Simplificando os fatores
e
:
Observação: para
próximo de
temos
, então a raiz está bem definida.
Passo 4
Derivar o denominador
.
Passo a passo:
- Derivada de
: usar que . Aqui e . Logo . - Derivada de
: usar que (cadeia: derivada de é ). Multiplicando por dá . - Derivada de
é .
Assim
Passo 5
Aplicar L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (se existir):
Agora avaliar esse limite diretamente substituindo
, pois não há mais indeterminação (verifico o numerador e o denominador separadamente):
- Numerador em
:
- Denominador em
:
que é diferente de zero.
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, o limite da razão é simplesmente
.
Se quiser intuir sem derivadas: expandindo em séries, o numerador é de ordem
e o denominador tem termo linear
, então a razão tende a
. A L’Hôpital confirma isso de forma rigorosa.