Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
sumn=1^+infty(-1)^n ln (raiz[n+1]n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^+infty(-1)^n,lnl(raiz[n+1]nr)
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência.
O conteúdo principal aqui envolve 1) simplificar o termo geral, 2) testar convergência absoluta (por comparação ou integral) e 3) aplicar o Critério da Série Alternada (Leibniz) para ver se há convergência condicional.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Note que
lnl(raiz[n+1]nr) =lnl(n^1/(n+1)r) =1n+1,ln(n)
Logo o termo geral da série é
an = (-1)^n,ln(n)n+1

Passo 3

Para ver se há convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^inftyln(n)n+1
Para grandes n, ln(n)n+1 comporta-se como ln(n)n. Sabemos que
sumn=2^inftyln(n)n
diverge, pois pelo teste da integral
integral2^inftyln(x)x,dx =12l(ln(x)r)^2|2^infty =infty
Logo sum |an| diverge e a série não converge absolutamente.

Passo 4

Para verificar convergência condicional, usamos o Critério da Série Alternada. Definimos
bn = ln(n)n+1,
de modo que an = (-1)^n bn. Precisamos checar:
  1. limntoinftybn = 0?
  2. A sequência (bn) é eventualmente decrescente?
Primeiro,
limntoinftyln(n)n+1=0
porque ln(n) cresce muito mais devagar que n.
Em segundo lugar, considere a função contínua
f(x)=ln(x)x+1(x>=2)
Sua derivada é
f'(x) =1x(x+1)-ln(x)(x+1)^2 =1 + tfrac1x - ln(x)(x+1)^2,
e para x grande (digamos x>=4) o numerador fica negativo, o que mostra que f é decrescente para x>=4.
Assim, a partir de algum N temos bn+1<= bn, e todos os requisitos do Critério de Leibniz se cumprem. Portanto
sumn=1^infty(-1)^n,ln(n)n+1
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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