Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
sumn=1^+infty [n cdot sen(1 / n)]^nn cdot 2^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^inftyl[nsin(1/n)r]^nn,2^n
em termos de convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar expansão de Taylor para sin(1/n) e o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fator exponencial.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor em torno de zero:
sin(x)=x-x^36+O(x^5),
logo, para x=1/n, temos
sin(1/n)=1n-16n^3+Ol(n^-5r)
Multiplicando por n,
nsin(1/n)=1-16n^2+Ol(n^-4r)
Daí
l[nsin(1/n)r]^n =expl(nln(1-tfrac16n^2+O(n^-4))r) =expl(-tfrac16n+O(n^-3)r)to1

Passo 3

Aplique o Teste da Razão. Seja
an=l[nsin(1/n)r]^nn,2^n
Então
an+1an =l[(n+1)sin!l(1/(n+1)r)r]^,n+1(n+1),2^,n+1 ;n,2^nl[nsin(1/n)r]^n =nn+1;12; l[(n+1)sin(1/(n+1))r]^,n+1l[nsin(1/n)r]^n
Pelos resultados do passo anterior (n+1)sin(1/(n+1))to1 e nsin(1/n)to1, logo
limntoinftyan+1an =12<1
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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