Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de coeficientes constantes e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve dois passos principais: encontrar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular que reproduza o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea
montando a equação característica
Agrupando termos, factoriza-se:
As raízes são
,
e
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Vamos decompor o lado direito em três termos independentes: constante
,
e
. Primeiro, para o termo constante, tentamos
com
constante. Então
e a equação dá
Passo 4
Para o termo
, como
já aparece na solução homogênea (
é raiz simples), multiplicamos por
. Logo tentamos
Calculamos
Substituindo em
obtemos
Para igualar a
precisamos
Passo 5
Para o termo
, como
aparece na homogênea (
é raiz simples), tentamos
Calculamos
Substituindo no operador
vem
Para igualar a
basta
Passo 6
Agora somamos as três partes particulares:
E a solução geral combina homogênea e particular: