Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
y^prime prime prime-y^prime prime-4 y^prime+4 y=5-e^x-e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y'' - 4y' + 4y = 5 - e^x - e^2x
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de coeficientes constantes e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve dois passos principais: encontrar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular que reproduza o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea
y''' - y'' - 4y' + 4y = 0
montando a equação característica
r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0
Agrupando termos, factoriza-se:
r^2(r-1) -4(r-1) = (r-1)(r^2-4) = (r-1)(r-2)(r+2)=0
As raízes são r=1, r=2 e r=-2. Logo a solução complementar é
yc(x) = C1e^x + C2e^2x + C3e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp. Vamos decompor o lado direito em três termos independentes: constante 5, -e^x e -e^2x. Primeiro, para o termo constante, tentamos
yp1 = A,
com A constante. Então
yp1'=0, yp1''=0, yp1'''=0
e a equação dá
4A = 5 Longrightarrow A = tfrac54

Passo 4

Para o termo -e^x, como e^x já aparece na solução homogênea ( r=1 é raiz simples), multiplicamos por x. Logo tentamos
yp2 = B,x,e^x
Calculamos
yp2' = B e^x(x+1), yp2'' = B e^x(x+2), yp2''' = B e^x(x+3)
Substituindo em y'''-y''-4y'+4y obtemos
L[yp2] = B e^xl[(x+3)-(x+2)-4(x+1)+4xr] = -3B,e^x
Para igualar a -e^x precisamos
-3B = -1 Longrightarrow B = tfrac13

Passo 5

Para o termo -e^2x, como e^2x aparece na homogênea ( r=2 é raiz simples), tentamos
yp3 = C,x,e^2x
Calculamos
yp3' = C e^2x(1+2x), yp3'' = 4C e^2x(x+1), yp3''' = 4C e^2x(2x+3)
Substituindo no operador L vem
L[yp3] = e^2xl[8C x +12C - (4C x +4C) -4(2C x +C) +4C xr] = 4C,e^2x
Para igualar a -e^2x basta
4C = -1 Longrightarrow C = -tfrac14

Passo 6

Agora somamos as três partes particulares:
yp(x) = tfrac54 + tfrac13,x,e^x - tfrac14,x,e^2x
E a solução geral combina homogênea e particular:
y(x) = yc(x) + yp(x)

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^2x + C3e^-2x + tfrac54 + tfrac13,x,e^x - tfrac14,x,e^2x

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